Bestimmen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

Question

Aufgabe:

1.) Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Koordinatenursprung geht und die x-Achse an der Stelle 3 schneidet. Die Steigung an der Nullstelle beträgt -48.

2.) Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph folgende Eigenschaften hat: Der Graph hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit der Steigung 8, an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt sowie einen Extrempunkt auf der y-Achse

Problem/Ansatz:

1.) Bedingungen:

f(0)=0

f(3)=0

f'(3)=-48

2.) Bedingungen:

f(1)=0

f'(1)=8

f'(-1)=0

Zu den Aufgaben noch eine Frage: Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung, also die Grundform, einer ganzrationalen Funktion 4. Grades?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ganzrationale Funktion vierten Grades

Stichworte: ganzrational,vierten,grades

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Koordinatenursprung geht und die x-Achse an der Stelle 3 schneidet. Die Steigung an dieser Nullstelle beträgt-48.

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass die allgemeine Funktionsgleichung f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e lautet.

Meine selbstaufgestellten Bedingungen bisher sind: f(3)= 0

                   f‘(3)= -48

                   f(0)= 0

Ich bin mir aber sehr unsicher ob das so stimmt und weiß auch nicht, wie ich danach weitermachen muss.

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@Roland

Die Markierung war schon vorher da.

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Stellt ihr beiden absichtlich die gleichen Fragen ein?

Bitte Schreibregeln beachten: Genauere Überschriften und Tags.

Answer 1

Nutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Bedingungen für die Achsensymmetrie:

f'(0) = 0
f'''(0) = 0

Weitere Bedingungen laut Aufgabentext:

f(0)=0
f(3)=0
f'(3)=-48

Nutze zur Kontrolle

Comments

2.) Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph folgende Eigenschaften hat: Der Graph hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit der Steigung 8, an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt sowie einen Extrempunkt auf der y-Achse

Nutze: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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vielen Dank, jetzt erkenne ich den Fehler. Ich habe nur 3 Bedingungen statt 5 aufgestellt, aber eine Frage: Wieso denn noch die Bedingung f'''(0)=0?

Zur 2.) Aufgabe habe ich folgende Gleichungen:

a+b+c+d+e= 0

4a+3b+2c+d=8

-4a+3b-2c+d=0

d=0

12a-6b+2c=0

Ist das soweit richtig?

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vielen Dank, jetzt erkenne ich den Fehler. Ich habe nur 3 Bedingungen statt 5 aufgestellt, aber eine Frage: Wieso denn noch die Bedingung f'''(0)=0?

Du brauchst nur 3 Bedingungen wenn du den Ansatz

f(x) = ax^4 + cx^2 + e statt f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

benutzt. Die Webseite nutzt allerdings immer den 2. Ansatz. D.h. man muss die 2 Bedingungen für die Achsensymmetrie noch einfügen.

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d → weil d = 0 sein muss ist f'(0) = 0
f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax + 6b → weil b = 0 sein muss ist f'''(0) = 0

Zur 2.) Aufgabe habe ich folgende Gleichungen:

Das sind denke ich die selben Gleichungen die Auch die Webseite laut den Bedingungen heraus hat. Das ist also richtig.

Answer 2

1.) Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Koordinatenursprung geht und die x-Achse an der Stelle 3 schneidet. Die Steigung an der Nullstelle beträgt -48.

Weg über die Nullstellenform der Parabel 4. Grades:
\(f(x)=ax^2(x+3)(x-3)=a(x^4-9x^2)\)
\(f'(x)=a(4x^3-18x)\)
\(f'(3)=a(108-54)=54a=-48\)
\(a=-\frac{8}{9}\)
\(f(x)=-\frac{8}{9}(x^4-9x^2)\)

2.) Bestimme eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph folgende Eigenschaften hat: Der Graph hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit der Steigung 8, an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt sowie einen Extrempunkt auf der y-Achse

Ich verschiebe den Graph um y Einheiten nach oben oder unten:

\(x=-1\)  Sattelpunkt ist Dreifachnullstelle :

\(f(x)=a (x+1)^3(x-N)\)

Bei \(x=1\) eine Nullstelle mit der Steigung \(8\):

\(f'(x)=a[3\cdot(x+1)^2(x-N)+(x+1)^3]\)

\(f'(1)=a[12\cdot(1-N)+8]=8\)

\(a=\frac{8}{12\cdot(1-N)+8}\)

sowie einen Extrempunkt auf der y-Achse:

\(f'(0)=a[3\cdot(0+1)^2(0-N)+(0+1)^3]=0\)

\(N=\frac{1}{3}\)        \(a=\frac{8}{12\cdot(1-\frac{1}{3})+8}=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2} (x+1)^3(x-\frac{1}{3})\)

Da eine Nullstelle bei \(x=1\) ist:

\(f(1)=\frac{1}{2} (1+1)^3(1-\frac{1}{3})=\frac{8}{3}\)

Ich verschiebe nun den Graph von  \(f(x)=\frac{1}{2} (x+1)^3(x-\frac{1}{3})\) um  \( \frac{8}{3}\) Einheiten nach unten:

\(p(x)=\frac{1}{2} (x+1)^3(x-\frac{1}{3})-\frac{8}{3}\)

Answer 3

1)

f(x)=ax^4+bx^2+c (wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse nur gerade Exponenten)

f(0)=0

f(3)=0

f'(3)=-48

2)

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e (Allgemeine Form eines Polynom 4. Grades)

f(1)=0

f'(1)=8

f'(-1)=0

f''(-1)=0

f'(0)=0

Answer 4

Die allgemeine Form solcher Funktionen lautet:

$$ p_n(x)=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+...+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_n\cdot x^n $$

Bei deinem konkreten Fall hättest du also erstmal

$$ p_4(x)=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+a_2\cdot x^2+a_3\cdot x^3+a_4\cdot x^4 $$

Bei 1.) hast du sogar eine Achsensymmetrie zur y-Achse, das bedeutet, die ungeraden Potenzen bekommen den Vorfaktor 0 und du hast nur noch:

$$ a_0\cdot x^0+0\cdot x^1+a_2\cdot x^2+0\cdot x^3+a_4\cdot x^4 =a_0\cdot x^0+a_2\cdot x^2+a_4\cdot x^4$$ als Ausdruck zu stehen.

Bei 2.) fehlen noch die Bedingungen:

- Stelle x=-1 einen Sattelpunkt, also f''(-1)=0

- Extrempunkt auf der y-Achse, also f'(0)=0

Answer 5

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph zur y-Achse symmetrisch ist, durch den Koordinatenursprung geht, hat die Gleichung f(x)=ax⁴+bx²

P(3|0) bedeuted       (1) 0=81a+9b

f '(3)= - 48 bedeuted (2) 108a+6b=-48

Das Systemhar die Lösungen a=8/9 und b=-8

f(x)=8/9·x⁴ -8·x²