Kurvendiskussion - bei eFunktionen: f(x):=(x-1)*e^x

Question

Untersuchen sie die Funktion f (x)= (x-1) * e^x auf Nullstellen, den EINEN Extremal- und Wendepunkt. Verhalten für x gegen - unendlich und x gegen plus unendlich Ich freue mich auf jede Antwort! Komm mit Kurvendiskussionen bestens zurecht, nur die Anwendung auf e- Funktionen fällt mir schwer :/

Gemäss Präzision im Kommentar korrigiert. (Lu)

Comments

  heißt die Funktion ( x-1) mal x mal e^x ?

  mfg Georg

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Ja (: Also (x-1) mal ehochx

Answer 1

Nullstellen : ein Produkt ist dann null wenn min. einer der Faktoren null ist. e^x ist stets positiv.
Also : x - 1 = 0
x = 1
( 1  l 0 )

Allgemein die erste Ableitung von
g ( x ) = e^{exponent}
g ´( x ) = g ( x ) * Ableitung (exponent )
g ´( x ) = g ( x ) * (exponent) ´

Beispiele
g ( x ) = e^x
g ´( x ) = e^x * 1 = e^x

g ( x ) = e hoch ( 2 * x + 4 )
g ´( x ) = e hoch ( 2 * x + 4 )  * 2 = 2 *  e hoch ( 2 * x + 4 )
In deinem Beispiel gilt für die erste Ableitung die Produktregel

f ( x )  = ( x - 1 ) * e^x
f ´( x ) = 1 * e^x + ( x -1 ) * e^x
f ´( x ) = e^x ( 1 + x -1 )
f ´ ( x ) = x * e^x

Extrempunkt :
f ´ ( x ) = x * e^x = 0
x = 0
Koordinaten
f(0) = ( 0 -1 ) * e^0 = -1
( 0  l -1 )

2.Ableitung
f ´ ( x ) = x * e^x
f ´´ ( x ) = 1 * e^x + x * e^x
f  ´´ ( x ) = ( 1  + x ) * e^x

Wendepunkt
f  ´´ ( x ) = ( 1  + x ) * e^x = 0
1 + x = 0
x = -1
Koordinaten
f(-1) = ( -1 -1 ) * e hoch (-1)
f(-1) = ( -2 ) * e hoch (-1)
( -1  l  ( -2 ) * e hoch (-1) )

limes x -> unendlich [  ( x - 1 ) * e^x ] = unendlich * unendlich = unendlich
limes x -> -unendlich [  ( x - 1 ) * e^x ] = 0

mfg Georg

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Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort! (: alles super