Kurvendiskussion von Produkt mit Exponentialfunktion: f(x)=x*e^{1-x}

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=x*e^{1-x}

Ich soll die Funktion auf Nullstellen und Extrema und Wendepunkte untersuchen. Wie mache ich das?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, bin echt kurz vor´m verzweifeln!

Comments

Solange du warten musst: Versuch mal, ob du mit den LInks bei:

https://www.mathelounge.de/15625/kurvendiskussion-nullstellen-extrema-tangenten-flache-usw

oder ähnlichen Fragen klarkommst. Dort wurden ganz ähnliche Aufgaben schon vorgerechnet.

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f(x)=x*e^1-x

Ich leite dir mal die Funktion ab, da die innere Ableitung, also das (1-x)'= -1 etwas heikel ist.

f ' (x) = 1*e^{1-x} + x*e^{1-x} * (-1)

= e^{1-x } - x*e^{1-x}

= (1-x)*e^{1-x}

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Okay, schonmal vielen Dank, denn auch mit Hilfe der schon anderen gestellten Fragen bezüglich Kurvendiskussionen hätte ich das nicht rausgekriegt..
Ist dann die Gleichung für die 2. und 3. Ableitung:

f '' (x) = 1*e^1-x

f ''' (x) = e^1-x

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Nein. Ich habe dir mal die 2. und 3. Ableitung im Vergleich gemacht. Du solltest die Produktregel und die Kettenregel anwenden.

Answer 1

Die Funktion und Ableitungen

f(x) = x·e^{1 - x}
f'(x) = e^{1 - x}·(1 - x)
f''(x) = e^{1 - x}·(x - 2)
f''(x) = e^{1 - x}·(3 - x)

Y-Achsenabschnitt

f(0) = 0

Nullstellen f(x) = 0

x·e^{1 - x} = 0   | Satz vom Nullprodukt. Da die e-Funktion nicht 0 werden kann muss x = 0 sein
x = 0

Extremstellen f'(x) = 0

e^{1 - x}·(1 - x) = 0   | Satz vom Nullprodukt. e-Funktion kann nicht null werden.
1 - x = 0
x = 1

f''(1) = -1 --> Hochpunkt

f(1) = 1 --> HP(1 | 1)

Wendestellen f''(x) = 0

e^{1 - x}·(x - 2) = 0
x - 2 = 0
x = 2

f''(2) <> 0

f(2) = 2/e = 0.7358 --> WP(2 | 0.7358)

Skizze

Comments

Lieben Dank! Es ist doch einfacher als gedacht...wo mir jedoch noch Fragen aufkommen ist einmal von der 1. zur 3. Ableitung - wird da jeweils die Produktregel verwendet? 

Und die zweite Frage wäre weshalb wird ganz unten bei den Wendestellen um y auszurechnen f (2) = 2/e gerechnet? 

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Du musst immer die Produktregel anwenden wenn du eine Multiplikation vorliegen hast und in beiden Faktoren ein x vorkommt. Also wird hier immer die Produktregel angewendet.

Du rechnest f(2), setzt also in die Funktion für x 2 ein.

f(2) = 2·e^{1 - 2} = 2·e^{-1}

Nun wissen wir nach Potenzregel, dass e^{-1} = 1/e ist.

f(2) = 2·e^{-1} = 2/e