Schreibweise der Lagrangefunktion mit positivem oder negativem Vorzeichen vor der Nebenbedingung?

Question

Ich habe die Lagrangefunktion nun mehrmals in zwei verschiedenen Schreibweisen gesehen. Zum einen wird sie

L(x1,x2)=x1x2 + λ(p1x1+p2x2-m)

geschrieben und zum anderen

L(x1,x2)=x1x2 - λ(p1x1+p2x2-m)

Ich frage mich nun welches Vorzeichen vor Lambda richtig ist bzw. ob beide Schreibweisen richtig sind, nur dass man bei einer der beiden die Vorzeichen in der Nebenbedingung ändern muss.

Answer 1

Das ist egal. Einmal bestimmst Du \( \lambda \) und einmal \( -\lambda \)

Comments

In wie fern egal? Weil das Lambda wegfällt, wenn man 1 und 2 gebenüberstellt?

Nur wenn man die partielle Ableitung nach Lambda bildet, spielt das Vorzeichen doch schon eine Rolle oder?

Oder wird die Nebenbedingung immer unverändert übernommen und nicht erst mit Lambda multipliziert?

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Im Fall (1) bekommst Du folgende Gleichungen

$$  L_{x_1} = x_2 + \lambda p_1 = 0 \\ L_{x_2} = x_1 + \lambda p_2 = 0 \\ L_\lambda = p_1 x_1 + p_2 x_2 - m = 0 $$

Im Fall (2)

$$  L_{x_1} = x_2 - \lambda p_1 = 0 \\ L_{x_2} = x_1 - \lambda p_2 = 0 \\ L_\lambda = p_1 x_1 + p_2 x_2 - m = 0 $$

Und wenn man dann in (1) \( \lambda \) durch \( -\lambda \) ersetzt, sieht man, dass beide GLS identisch sind.