Beim Monotonieverhalten Funktion zuerst ableiten. Und dann?

Question

Bei der Kurvendiskussion hätte ich eine Frage zu einer Aufgabe:

Für welche a ∈ ℝ ist die Funktion f echt monoton auf ganz ℝ?

f(x)= -1/4 (x³-4ax²+32). Zuallererst sollen wir die Funktion ableiten, also: f ' (x)=-1/4 (3x²-6ax).

Aber wie genau muss man weiterrechnen? Ausklammern und dann Mitternachtsformel (=ABC-Formel)?

 

glg, Julia

Comments

Was genau ist bei euch 'echt' monoton?

'streng' monoton kann deine Funktion eigentlich nicht sein.

Answer 1

f(x)= -1/4 (x³-4ax²+32). Zuallererst sollen wir die Funktion ableiten, also: f ' (x)=-1/4 (3x²-6ax).

Jetzt die Nullstellen von f ' (x) bestimmen. Wenn immer möglich faktorisieren

 

 f ' (x)=-1/4 (3x²-6ax). = -1/4 * 3x (x-2a)

f ' (x ) = 0 für x1 = 0 und x2 = 2a.

Nun den globalen Verlauf von f(x) , also -1/4 x^3 berücksichtigen. Das wäre ja fallend.

zwischen 0 und 2a wäre die Funktion steigend. Damit keine steigende stellen vorkommen, sollte wohl 2a=0 also a =0 sein.

Rechne das mal nach und kontrolliere z.B. mit dem Funktionsplotter.

Answer 2

Hallo ,

Für welche a ∈ ℝ ist die Funktion f echt monoton auf ganz ℝ?
f(x)= -1/4 (x³-4ax²+32). Zuallererst sollen wir die Funktion ableiten, also: f ' (x)=-1/4 (3x²-6ax).

Richtig heißt die erste Ableitung :
f ´(x ) = -1/4 * ( 3x^2 - 8ax ) 
falls a = 0 reduziert sich die Funktion auf
f ´(x ) = -1/4 * ( 3x^2 )
x^2 ist stets positiv also ist  für
a = 0 die erste Ableitung stets negativ oder null.
Ich habe einmal in der Definition für Monotonie nachgeschaut
Falls eine Funktion in der ersten Ableitung
- stets Positiv oder null
oder
- stets Negativ oder null
ist wird sie als streng monoton bezeichnet.
Also dürfte die Antwort auf die Eingangsfrage a = 0 lauten

mfg Georg