Ausgleichspolynom 2. Grades mit 4 Messpunkten

Question

Aufgabe: Gegeben sind die folgenden Messdatenpaare
x  -2 -1  1  3
y   5  3  2  8
Bestimmen Sie durch die Lösung des Systems von Normalgleichungen das beste
Ausgleichspolynom zweiten Grades.

Problem/Ansatz: Mit 3 Messpunkten ist es ja einfach über ein LGS ein Polynom 2. Grades zu erstellen. Mit 4 Punkten geht das ja so nicht und ich weiß nicht wie ich an die Sache rangehen soll. Überall steht das man mit n-Messpunkten Polynome von n-1. Grad oder niedriger erstellen kann aber nirgendswo wie das geht.

Comments

Der Weg ist doch vorgegeben:

Bestimmen Sie durch die Lösung des Systems von Normalgleichungen das beste
Ausgleichspolynom zweiten Grades.

Hier ist also kein exaktes Polynom gefragt sondern nur das Ausgleichspolynom.

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Danke für die Antwort aber wie stelle ich das an?  was ist mit der Aussage : durch die Lösung des Systems von Normalgleichungen gemeint? Bei dem Ausgleichspolynom muss doch trotzdem jeder Punkt beachtet werden und kann daher nicht mit einem LGS gelöst werden oder irre ich mich?

Answer 1

Hallo Jimmy,

Die Normalgleichungen sind das Lineare Gleichungssystem \(A^T\cdot A \cdot \alpha = A^T\cdot y\). Siehe auch diesen Beitrag.

Das \(\alpha\) enthält in Deinem Fall die drei Parameter für das Polynom 2.Ordnung. Und \(A\) und \(y\) sind: $$A= \begin{pmatrix}4& -2& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ 9& 3& 1\end{pmatrix}, \quad y= \begin{pmatrix}5\\ 3\\ 2\\ 8\end{pmatrix}$$ Die Matrix \(A\) besteht (von rechts) aus einer Spalte mit \(1\)'en, aus den \(x\)-Werten und aus den Werten für \(x^2\).

Die Lösung lautet in Deinem Fall$$\alpha = \begin{pmatrix}611/796\\ -173/796\\ 667/398\end{pmatrix} \implies p(x) \approx 0,7676 x^2 - 0,2173 x + 1,676$$ Im Bild ...

 

... sieht man dann, dass die Parabel die Punkte recht gut annähert.

Comments

Die Lösung ist in diesem Falle leider verkehrt weil du im Lösungsvektor als letzte Zahl 5 und nicht 8 eingetragen hattest.

Die korrekte Lösung ist denke ich:

f(x) = 611/796·x^2 - 173/796·x + 667/398

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Danke für den Hinweis. Ich habe meine Antwort korrigiert.

Da sieht man wieder: ein Großteil des Erfolgs in der (Schul)Mathematik liegt in der Fähigkeit korrekt abzuschreiben!

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Was mich nur immer wieder wundert ist das die Studenten und Schüler oft so tun als hätten sie von irgendwas noch nie etwas gehört.

Ich frage mich echt ob Aufgaben aufgegeben werden, deren Verfahren noch nie zuvor in der Vorlesung oder im Unterricht besprochen worden war.

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nach mehreren Jahrzehnten unregelmäßigem Nachhilfeunterricht wundert mich da gar nichts mehr. Einige konnten sich noch erinnern, dass da wohl ein Mathemathematikunterricht statt gefunden hat, Das war aber auch alles!

Selbst die Aufforderung von meiner Seite einfach mal in zwei bis drei Sätzen aufzuschreiben, was denn wohl für ein Thema in der Stunde dran war, konnte nicht nach gekommen werden. Das war auch über einen längeren Zeitraum nicht möglich!

Ich unterstelle dabei weder Unwille, noch Dummheit. Mathematikunterricht wird von einigigen bis vielen als etwas derartig Negatives empfunden, dass das menschliche Hirn, da aus Selbstschutz einfach dichtmacht. Das ist sehr schade, aber das ist IMHO so!

Answer 2

Für Dein Formel und Merkheft