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Aufgabe:

f(x) = 4x + x2 + x5 + sin(pix)

a) Bestimmen sie das Polynom 2. Grades welches diese Funktion an den Stellen

x1 = -1

x2 = 0

x3 = 1

interpoliert. Geben sie das Polynom in Normalform an.

b) Geben Sie eine Abschätzung des Interpolationsfehlers auf dem Intervall (-1,1) an.


Einsetzen von x1-3 ergibt

f(-1) = -3

f(0) = 0

f(-1) = 5

Mit

 P(x)=f(a)(xm)(xb)(am)(ab)+f(m)(xa)(xb)(ma)(mb)+f(b)(xa)(xm)(ba)(bm) P(x)=f(a) \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m) \frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b) \frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}

habe ich P(x) = x-  4x

kann mir jemand bei der b) behilflich sein?

Liebe Grüße..

Nele

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Hallo Nele,

Aufgabe: f(x)=4x+x2+x5+sin(πx)f(x) = 4x + x^2 + x^5 + \sin(\pi x)

Der Term sin(πx)\sin(\pi x) hat für die Werte x=1x=-1, x=0x=0 und x=1x=1 immer den Wert 00. Daher ist f(1)=4,f(0)=0,f(1)=6f(-1) = -4, \quad f(0)=0, \quad f(1)= 6Im Plot sieht das so aus:

Plotlux öffnen

f1(x) = 4x+x2+x5+sin(π·x)P(-1|-4)P(0|0)P(1|6)Zoom: x(-2…2) y(-5…7)f2(x) = x2+5x

Der rote Graph gehört zur Funktion p(x)=x2+5xp(x)= x^2+5x und ist die Parabel durch diese drei Punkte.


kann mir jemand bei der b) behilflich sein?

Das kommt darauf an, wie Ihr die "Abschätzung des Interpolationsfehlers" darstellen sollt. Es gibt da wohl verschieden Möglichkeiten. Was steht denn dazu in Deinem Script?


Nachtrag:

... hatte ich es mit der Formel hier gerade noch probiert:R(x) = (xkx0)(k+1)(k+1)! \frac{(xk-x0)^(k+1)}{(k+1)!}  max x0 ≤ ξ≤ xk |f(k+1)(ξ)|das ergab 0,75mit f(x)''' = 60x2 - pi3 *cos(pi x)

Ich denke Du meinst die Interpolation nach Lagrange mit der Restgliedabschätzung. Ich hab da was anderes rausp(x)f(x)=R(x)maxi=0k(xxi)(k+1)!maxf(k+1)(ξ) ξ,x[a;b]|p(x)-f(x)| = R(x) \le \frac{\max\left|\prod_{i=0}^k (x-x_i)\right|}{(k+1)!} \cdot \max\left|f^{(k+1)}(\xi)\right|\quad \space \xi,\, x \in[a;b]In Deinem Fall ist das Intervall [1,1][-1,\,1] und k=2k=2 und i=02(xxi)=(x+1)x(x1)=x3xf(3)=60x2π3cos(πx)\prod_{i=0}^2 (x-x_i) = (x+1)x(x-1) = x^3-x \\ f^{(3)}=60x^2-\pi^3\cos(\pi x)Demnach istmaxx[1;1]x3x=293maxξ[1;1]f(3)=60π3    R(x)2933!(60π3)1,86\max_{x \in [-1;\,1]}\left|x^3-x\right| = \frac29 \sqrt 3 \\ \max_{\xi \in [-1;\,1]}\left| f^{(3)}\right| = 60-\pi^3 \\ \implies R(x) \le \frac{\frac29\sqrt 3}{3!} (60-\pi^3) \approx 1,86

dann hätte ich abgeschätzt wo die Funktion maximal wird durch einsetzen von 1 und -1 das ergibt 91,01

das kann nicht sein! Der Fehler ist schon rein optisch unter 1.p(x)f(x)=x2+5x(4x+x2+x5+sin(πx))=x5+xsin(πx)ddx(pf)=5x4+1πcos(πx)0\begin{aligned} p(x)-f(x) &= x^2+5x - (4x + x^{2} + x^{5} + \sin(\pi x)) \\ &= -x^5 +x -\sin(\pi x)\\ \frac{\text d}{\text dx}(p-f) &= -5x^4+1- \pi\cos(\pi x) \to 0 \end{aligned}Das Maximum liegt in etwa bei xopt±0,412x_{\text{opt}} \approx \pm0,412 mit dem Funktionswert vonp(xopt)f(xopt)0,562|p(x_{\text{opt}}) - f(x_{\text{opt}})| \approx 0,562

Plotlux öffnen

f1(x) = -5x4+1-π·cos(π·x)f2(x) = -x5+x-sin(π·x)Zoom: x(-3…3) y(-2…2)

Die rote Kurve ist der Fehler und die blaue seine Ableitung.


Gruß Werner

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Hallo Werner,

danke erst einmal für die Korrektur bei a)

Leider habe ich in meinem Skript nicht viel dazu gefunden deshalb hatte ich es mit der

der Formel hier gerade noch probiert:

R(x) = (xkx0)(k+1)(k+1)! \frac{(xk-x0)^(k+1)}{(k+1)!}  max x0 ≤ ξ≤ xk |f(k+1)(ξ)|

das ergab 0,75

mit f(x)''' = 60x2 - pi3 *cos(pi x)

dann hätte ich abgeschätzt wo die Funktion maximal wird durch einsetzen von 1 und -1

das ergibt 91,01

R(x) = 91,01 * 0,75 = 68,25

Allerdings bin ich leider sehr unsicher ob das soweit stimmt..

Grüße :)

Hallo Nele,

ich habe meine Antwort erweitert (s.o.)

Dieser Foliensatz könnte noch hilfreich sein.

Hallo Werner,

vielen Dank für deine schnelle und kompetente Hilfe! Da bin ich in meiner Rechnung wohl ein paar mal falsch abgebogen..

Liebe Grüße :)

Nele

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