Hallo Nele,
Aufgabe: \(f(x) = 4x + x^2 + x^5 + \sin(\pi x)\)
Der Term \(\sin(\pi x)\) hat für die Werte \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) immer den Wert \(0\). Daher ist $$f(-1) = -4, \quad f(0)=0, \quad f(1)= 6$$Im Plot sieht das so aus:
~plot~ 4x+x^2+x^5+sin(pi*x);{-1|-4};{0|0};{1|6};[[-2|2|-5|7]];x^2+5x ~plot~
Der rote Graph gehört zur Funktion \(p(x)= x^2+5x\) und ist die Parabel durch diese drei Punkte.
kann mir jemand bei der b) behilflich sein?
Das kommt darauf an, wie Ihr die "Abschätzung des Interpolationsfehlers" darstellen sollt. Es gibt da wohl verschieden Möglichkeiten. Was steht denn dazu in Deinem Script?
Nachtrag:
... hatte ich es mit der Formel hier gerade noch probiert:R(x) = \( \frac{(xk-x0)^(k+1)}{(k+1)!} \) max x0 ≤ ξ≤ xk |f(k+1)(ξ)|das ergab 0,75mit f(x)''' = 60x2 - pi3 *cos(pi x)
Ich denke Du meinst die Interpolation nach Lagrange mit der Restgliedabschätzung. Ich hab da was anderes raus$$|p(x)-f(x)| = R(x) \le \frac{\max\left|\prod_{i=0}^k (x-x_i)\right|}{(k+1)!} \cdot \max\left|f^{(k+1)}(\xi)\right|\quad \space \xi,\, x \in[a;b]$$In Deinem Fall ist das Intervall \([-1,\,1]\) und \(k=2\) und $$\prod_{i=0}^2 (x-x_i) = (x+1)x(x-1) = x^3-x \\ f^{(3)}=60x^2-\pi^3\cos(\pi x)$$Demnach ist$$\max_{x \in [-1;\,1]}\left|x^3-x\right| = \frac29 \sqrt 3 \\ \max_{\xi \in [-1;\,1]}\left| f^{(3)}\right| = 60-\pi^3 \\ \implies R(x) \le \frac{\frac29\sqrt 3}{3!} (60-\pi^3) \approx 1,86$$
dann hätte ich abgeschätzt wo die Funktion maximal wird durch einsetzen von 1 und -1 das ergibt 91,01
das kann nicht sein! Der Fehler ist schon rein optisch unter 1.$$\begin{aligned} p(x)-f(x) &= x^2+5x - (4x + x^{2} + x^{5} + \sin(\pi x)) \\ &= -x^5 +x -\sin(\pi x)\\ \frac{\text d}{\text dx}(p-f) &= -5x^4+1- \pi\cos(\pi x) \to 0 \end{aligned}$$Das Maximum liegt in etwa bei \(x_{\text{opt}} \approx \pm0,412\) mit dem Funktionswert von$$|p(x_{\text{opt}}) - f(x_{\text{opt}})| \approx 0,562$$
~plot~ -5x^4+1- pi*cos(pi*x);-x^5 +x - sin(pi*x);[[-3|3|-2|2]] ~plot~
Die rote Kurve ist der Fehler und die blaue seine Ableitung.
Gruß Werner
