Aloha :)
Wie bereits in den Antworten zuvor gezeigt wurde, geht es mit L'Hospital und über den Differentialquotienten. Falls du Ableitungen vermeiden möchtest, kannst du auch über die Potenzreihe der e-Funktion gehen.
$$a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\ln(a)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\ln^n(a)}{n!}\,x^n=1+\ln(a)\cdot x+O(x^2)$$$$\Rightarrow\quad\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1+\ln(a)\cdot x-1+O(x^2)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\ln(a)+O(x)\right)=\ln(a)$$
Damit ist:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\,n(\sqrt[n]{a}-1)\,\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{1/n}-1}{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln(a)$$
