Welches Ergebnis erhalten Sie für folgenden Grenzwert:

Question

Aufgabe:

Welches Ergebnis erhalten Sie für folgenden Grenzwert:

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cot (x)-\cos (x)}{\cos ^{3}(x)}=? \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe garnicht wie man das rechnen soll, wie muss man bei solchen Aufgaben rangehen. Wie löse ich die genau ?

Answer 1

Grundsätzlich gibt es immer viele verschiedene Wege wie man an solche Aufgabe herangehen kann. Hier, wie ich es machen würde.

$$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cot(x) - \cos(x)}{\cos^3(x)} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)} - \cos(x)}{\cos^3(x)} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sin(x)} - 1}{\cos^2(x)} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin(x)}{\sin(x) \cdot \cos^2(x)} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin(x)}{\sin(x) \cdot (1 - \sin^2(x))} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin(x)}{\sin(x) \cdot (1 + \sin(x)) \cdot (1 - \sin(x))} \newline = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin(x) \cdot (1 + \sin(x))} \newline = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}) \cdot (1 + \sin(\frac{\pi}{2}))} \newline = \frac{1}{1 \cdot (1 + 1)} \newline = \frac{1}{2} \newline $$

Answer 2

Nutze \(\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\), klammere \(\cos(x)\) aus und kürze. Dann kann man die Regel von L'Hospital anwenden.

Oft kann man solche Grenzwerte bestimmen, indem man versucht, den Term umzuformen. Häufig durch Faktorisierungen und anschließendem Kürzen. Auch ist der Satz von L'Hospital häufig anwendbar, so dass man Zähler und Nenner ableitet und der Ausdruck dann ebenfalls einfacher wird oder sich der Grenzwert berechnen lässt.

Ergebnis: \(\frac{1}{2}\)

Comments

Ich versteh nicht wie ich L'Hospital anwenden kann.

Bis zum Punkt ((1 / sin(x) – 1 ) * (1/cos²(x)) komme ich .

Weiter weiß ich nicht was ich machen soll.

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Setzt man jetzt \(\frac{\pi}{2}\) ein, erhält man \(\frac{0}{0}\). Du kannst also L'Hospital anwenden. Leite Zähler und Nenner getrennt ab und schau dann, ob du den Grenzwert bestimmen kannst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_L%E2%80%99Hospital