Konvergenz einer Folge beweisen mit Grenzwert 0

Question

Aufgabe:

Ich habe die Folge
bn= Wurzel (n+2) - Wurzel (n+1)
Der Grenzwert ist Wurzel n- Wurzel n also 0.
Jetzt möchte ich berechnen
|bn-0|< epsilon
Setze ich dann einfach bn< epsilon ? Wenn ich auflöse kommt raus 3<epsilon^2.
Ich brauche aber einen wert für N..

Answer 1

Erweitere zur 3. binom. Formel mit der Summe aus beiden Wurzeln!

Comments

Habe ich, aber kriege aufgelöst raus

n+2-n+1<epsilon

:(

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Wenn du mir eventuell zeigen könntest was du meinst?

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Und wo ist dein Nenner geblieben?
Siehe meine Antwort.

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Achso, also ist das dann

Der Zähler

Wurzel n+2- Wurzel n+1

geteilt durch den Nenner n+2-n+1

?

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Ich bin gerade etwas verwirrt was ich erweitere

Answer 2

Ja, Sie können die Ungleichung |bn-0|<epsilon einfach als bn<epsilon schreiben. Die Aufgabe fragt nach einem Wert für N, der dafür sorgt, dass bn<epsilon gilt.

Um einen solchen Wert zu finden, können Sie die Gleichung bn<epsilon nach N umstellen. Hierbei sollten Sie beachten, dass bn=Wurzel(n+2)-Wurzel(n+1) und dass Wurzel(n+2)>Wurzel(n+1), wenn n>0. Das bedeutet, dass bn<0 für alle n>0. Sie müssen also den Betrag von bn nehmen, um die Gleichung bn<epsilon zu erhalten.

Um den Betrag von bn zu nehmen, können Sie die Gleichung wie folgt schreiben: |bn|=|Wurzel(n+2)-Wurzel(n+1)|. Jetzt können Sie die Gleichung umstellen, indem Sie beide Seiten mit Wurzel(n+1) multiplizieren: |bn|*Wurzel(n+1)=Wurzel(n+2)-Wurzel(n+1). Jetzt können Sie den Ausdruck auf der rechten Seite vereinfachen und die Gleichung erneut umstellen: |bn|Wurzel(n+1)=Wurzel(n+2)(1-1/Wurzel(n+1)).

Jetzt haben Sie die Gleichung |bn|*Wurzel(n+1)<epsilon. Sie können die Gleichung noch weiter vereinfachen, indem Sie beide Seiten mit 1/Wurzel(n+1) multiplizieren: |bn|<epsilon/Wurzel(n+1). Jetzt haben Sie die Gleichung in der Form, die Sie brauchen, um nach N zu suchen. Sie können jetzt einen Wert für N finden, der dafür sorgt, dass |bn|<epsilon/Wurzel(n+1).

Ich hoffe, das hilft Ihnen bei der Lösung der Aufgabe! Wenn Sie noch Fragen haben, zögern Sie bitte nicht, mich zu fragen.

grüße GustavDerBraune

Answer 3

$$\left|\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\right|< \frac{1}{2\sqrt{n+1}}<\epsilon\iff n> \left(\frac{1}{2\epsilon}\right)^2-1$$

Comments

Wie kommt man vom - zwischen den beiden Wurzeln aufeinmal auf ein +? Vom 1. zum 2. Schritt

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Du erweiterst mit \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\).
Das hat doch ggT22 sinnvollerweise vorgeschlagen.

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Dankeschön, verstanden