Um zu zeigen, dass die Summe der Reihe ( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} ) nicht absolut konvergent ist, wenn der Grenzwert der infimum-Folge der Quotienten der Folgenglieder größer als 1 ist, können wir Folgendes zeigen:
Wir wissen, dass die Reihe absolut konvergent ist, wenn die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder konvergiert. Das bedeutet, dass
[ \sum \limits_{k=1}^{\infty} |a_{k}| < \infty. ]
Wir betrachten nun die Folge der Quotienten der Folgenglieder:
[ b_{k} = \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} ]
Wir wissen, dass die Folge der Quotienten monoton fallend ist, da sie aus den absoluten Werten der Folgenglieder gebildet wird. Wir können also schreiben:
[ b_{1} \ge b_{2} \ge b_{3} \ge \dotsb ]
Da der Grenzwert der infimum-Folge größer als 1 ist, gibt es eine natürliche Zahl $N$, sodass für alle $n \ge N$ gilt:
[ b_{n} \ge 1 + \epsilon ]
für ein $\epsilon > 0$.
Wir können nun zeigen, dass die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder unbeschränkt ist. Dazu wählen wir $n \ge N$ und schreiben:
\begin{align*} \sum \limits_{k=n}^{\infty} |a_{k}| &= |a_{n}| \sum \limits_{k=n}^{\infty} b_{k} \ &\ge |a_{n}| \sum \limits_{k=n}^{\infty} (1+\epsilon) \ &= |a_{n}| \frac{1+\epsilon}{1-1-\epsilon} \ &= |a_{n}| \cdot \frac{1+\epsilon}{-\epsilon} \ &= -\frac{|a_{n}|}{\epsilon} \end{align*}
Da $n$ beliebig groß gewählt werden kann, ist die Summe der absoluten Werte der Folgenglieder unbeschränkt und somit nicht absolut konvergent.
