Grenzwert anhand Bernoulli Formel bestimmen

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\ln (\tan (x))} \)

Grenzwert mit Bernoulli ausrechnen.
Problem/Ansatz:

Wenn ich sin(0) nehme -> 0

tan(0) -> 0

man darf ja den ln(0) nicht durchführen...

Habe trotzdem mal den Bernoulli angewendet:

Ableitung ln(sin(x)) = cos(x)/sin(x)

Ableitung ln(tan(x)) = sec^2(x)/tan(x) oder sin^2(x)/cos^2(x)

Wenn man jetzt den Grenzwert einsetzt:

cos(0)/sin(0) -> 1/0

sin^2(0)/cos^2(0) = 0/1 -> 0

Hier habe ich das gleiche Problem, wie bei einer anderen Aufgabe. Wo mache ich den Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Ich weiß nicht, wie Bernoulli hier helfen soll. Das sieht mir eher nach einem Kandidaten für L'Hospital aus, weil Zähler und Nenner unabhängig voneinander gegen \(-\infty\) divergieren:

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\sin x)}{\ln(\tan x)}\stackrel{\text{(L'Hospital)}}{=}\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sin x}\cos x}{\frac{1}{\tan x}{(1+\tan^2x)}}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\cos x}{1+\tan^2x}\cdot\frac{\tan x}{\sin x}\right)$$$$=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\cos x}{1+\tan^2x}\cdot\frac{\frac{1}{\cos x}}{1}\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{1+\tan^2x}=1$$

Comments

Ich weiß nicht, wie Bernoulli hier helfen soll. (...)

Siehe hier:

Regel von de L’Hospital

Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661–1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann I Bernoulli gekauft.

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Ah, das wusste ich nicht. Danke für den Hinweis!

Bernoulli war ein genialer Mathematiker, aber offenbar kein guter Geschäftsmann, hat er sich doch eine seiner wichtigsten Entdeckungen abkaufen lassen.

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Wie bekommst du beim 4. Schritt 1/cos(x) / 1

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Hat sich geklärt, danke.