Trigonometrische Funktion Grenzwert

Question

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\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\cos (x)}{3 x+\sin (x)}+18\right) \) & \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\cos (x)-2 x}{3 x+\sin (x)} \) & \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\pi^{k+1}}{2^{k-1} k !} \) \\
\hline 18 & \( -\frac{2}{3} \) & \( 2 \pi \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} \) \\
\hline
\end{tabular}

Hallo,

Ich wollte fragen, wie sich die trigonometrischen Fkt. im unendlichen verhalten. Wenn man diese nämlich ableitet und gegen unendlich laufen lässt, weiß ich nicht so recht gegen welchen Wert diese streben.

Bei der 3. Aufgabe komme ich leider nicht auf den Wert.

LG

Answer 1

Für 1 und 2 musst du nur beachten, dass sin und cos immer nur Werte

zwischen -1 und 1 haben, also nach oben und unten beschränkt sind.

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\pi^{k+1}}{2^{k-1} k !} = 2\pi \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\pi^{k}}{2^{k} k !} = 2\pi \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(\frac{\pi}{2})^{k}}{k !} \)

und dann die klassische Reihe für die e-Fkt.

Answer 2

sin und cos bewegen sich zwischen -1 und 1.

Man kann sie bei 1. und 2, vernachlässigen.

3.pi^(k+1) = pi^k*pi

2^(k-1) = 2^k/2

Du kannst k ausklammern zu (pi/2)^k

2pi kann man vor die Summe ziehen

->  2*pi*Σ 1/k! * (pi/2)^k