Grenzwert trigonometrische Funktion von x gegen 0

Question

Hallo, ich muss den Grenzwert von x gegen 0 der folgenden Funktion berechnen:

\( \frac{cos(α+x)-cos(α)}{x} \)

Ich soll dabei lim x->0  \( \frac{sin(x)}{x} \)=1 benutzen.

Bei dem Ausdruck dachte ich zu erst daran den Bruch mit cos(α+x)+cos(α) zu erweitern, wodurch ich dann so weit gekommen bin: \( \frac{cos(α+x)^2-cos(α)^2}{x * (cos(α+x)+cos(α))} \). 
Weiter komm ich jedoch nicht.

Eine andere Idee wäre es die Regel von l Hospital anzuwenden und einfach Zähler und Nenner abzuleiten. Dann kann ich aber doch nicht lim x->0  \( \frac{sin(x)}{x} \)=1 benutzen

Comments

Hallo,

verwende die Formel für die Differenz von 2 cos-Termen.

Gruß

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Welche genau meinst du denn die Additionstheoreme? Auch damit macht es für mich kaum sinn

Answer 1

Hallo,

schau mal hier nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Summen_zweier_trigonometrischer_Funktionen_(Identit%C3%A4ten)

da steht cos(x)-cos(y), das kannst du hier verwenden. Man erhält damit

$$\frac{cos(α+x)-cos(α)}{x}=\frac{-2sin(x/2)sin(\alpha +x/2)}{x}=\frac{-sin(x/2)}{x/2}sin(\alpha +x/2)$$

und für den ersten Faktor kannst du den bekannten Grenzwert verwenden und im zweiten Faktor x=0 setzen.

Comments

Danke für die Übersicht erstmal. Die Umformung macht damit ja Sinn, aber was meinst du mit "und für den ersten Faktor kannst du den bekannten Grenzwert verwenden und im zweiten Faktor =0 setzen."?

lim\( \frac{-sin(x/2)}{x/2} \) sollte ja -1 ergeben, wie mache ich dann weiter?

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Ich meinte im zweiten Faktor kannst du gefahrlos x=0 einsetzen, dann steht das Ergebnis schon da:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{-sin(x/2)}{x/2}sin(\alpha +x/2)=-1*sin(\alpha +0/2)=-sin(\alpha)$$

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Das macht ja schon Sinn, aber wenn ich es gerade mit einer Wertetabelle überprüft habe, ist -sin(α) nicht der Grenzwert oder hab ich was falsch gemacht

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Warum machst du eine Wertetabelle? Wir haben den Grenzwert doch gerade berechnet. Und zur Kontrolle: die Ableitung des Cosinus ist -sin . Das kannst du auch überall nachlesen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Ableitung

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Ich wollte es nur überprüfen und wenn ich Werte einsetze, welche sich immer näher an 0 annähern, strebt dieser Wert nicht gegen -sin(α)

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Dann rechnen du oder dein Taschenrechner falsch ;)

( du musst alpha im Bogenmaß angeben)

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achso danke ich habs jetzt