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Aufgabe (Injektivität und Surjektivität). Es sei f : lR -> lR, x -> -x².

(a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.

(b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist. Finden Sie zudem verschiedene Abbildungen g' : V -> U und g: V -> U mit g o f = g' o f = idU

(c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.

(d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) bijektiv ist.

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Lösungen zu Aufgaben mit Abbildungen (Surjektivität etc)

Die gegebene Funktion ist f : RRf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, xx2x \mapsto -x^2.

a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.

- Nicht injektiv (Eindeutigkeit): Eine Funktion ff ist injektiv, wenn für alle x1,x2Rx_1, x_2 \in \mathbb{R}, aus f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) folgt, dass x1=x2x_1 = x_2. Hier jedoch für x1=1x_1 = 1 und x2=1x_2 = -1, haben wir f(x1)=f(x2)=1f(x_1) = f(x_2) = -1, aber x1x2x_1 \neq x_2. Also ist ff nicht injektiv.

- Nicht surjektiv (Abbildung auf): Eine Funktion ff ist surjektiv, wenn für jedes Element yRy \in \mathbb{R} ein xRx \in \mathbb{R} existiert, so dass f(x)=yf(x) = y. Da f(x)=x2f(x) = -x^2 immer negativ (oder null bei x=0x = 0) ist, gibt es kein xx, für das f(x)f(x) positiv ist. Damit existieren positive Zahlen in R\mathbb{R}, auf die ff nicht abbildet. Folglich ist ff nicht surjektiv.

b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Wähle U=[0,+)U = [0, +\infty) und V=(,0]V = (-\infty, 0]. In diesem Bereich ist ff injektiv, weil hier keine zwei verschiedenen positiven Zahlen existieren, deren Quadrate identisch sind. ff ist nicht surjektiv, weil nicht alle Werte in VV erreicht werden (nur die negativen Zahlen und Null).

Um gg und gg' zu finden, bemerken wir, dass gg und gg' invers zu ff auf UU sein müssen. Da ff innerhalb von U=[0,+)U = [0, +\infty) zu V=(,0]V = (-\infty, 0] injektiv ist, aber keine wirkliche Umkehrfunktion im üblichen Sinne hat (da ff nicht surjektiv ist), könnte eine Auswahl von Funktionen, die gf=gf=idUg \circ f = g' \circ f = id_U erfüllen, schwer zu definieren sein ohne konkrete Funktionen gg und gg' zu nennen. Generell wäre g : VUg: V \to U so zu wählen, dass g(x2)=xg(-x^2) = x für x[0,+)x \in [0, +\infty), was jedoch aufgrund der fehlenden Surjektivität von ff problematisch ist.

c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Eine solche Wahl von Mengen ist nicht möglich, da die Funktion f(x)=x2f(x) = -x^2 aufgrund ihrer Definition (Quadrieren und Negieren) nicht so eingeschränkt werden kann, dass sie surjektiv, aber nicht injektiv auf Teilbereiche von R\mathbb{R} wirkt. Die Wurzel des Problems liegt in der Tatsache, dass jede potentielle Surjektivität sofort auch eine Verletzung der Injektivität mit sich bringt, da f(x)=f(x)f(x) = f(-x).

d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) bijektiv ist.

Um eine Bijektivität zu erreichen, wählen wir U=[0,+)U = [0, +\infty) und V=(,0]V = (-\infty, 0]. In dieser Konfiguration ist ff sowohl injektiv als auch surjektiv:

- Injektiv: Keine zwei verschiedenen xx können auf denselben Wert abgebildet werden, da in UU jedes xx eindeutig ist und f(x)f(x) negative Quadratzahlen erzeugt.

- Surjektiv: Jedes Element in VV kann erreicht werden, da jedes negative yVy \in V als y=x2y = -x^2 für ein xUx \in U geschrieben werden kann.

Somit ist f : UVf: U \to V bijektiv.
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