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Lösungen zu Aufgaben mit Abbildungen (Surjektivität etc)
Die gegebene Funktion ist
f : R→R,
x↦−x2.
a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.
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Nicht injektiv (Eindeutigkeit): Eine Funktion
f ist injektiv, wenn für alle
x1,x2∈R, aus
f(x1)=f(x2) folgt, dass
x1=x2. Hier jedoch für
x1=1 und
x2=−1, haben wir
f(x1)=f(x2)=−1, aber
x1=x2. Also ist
f nicht injektiv.
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Nicht surjektiv (Abbildung auf): Eine Funktion
f ist surjektiv, wenn für jedes Element
y∈R ein
x∈R existiert, so dass
f(x)=y. Da
f(x)=−x2 immer negativ (oder null bei
x=0) ist, gibt es kein
x, für das
f(x) positiv ist. Damit existieren positive Zahlen in
R, auf die
f nicht abbildet. Folglich ist
f nicht surjektiv.
b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Wähle
U=[0,+∞) und
V=(−∞,0]. In diesem Bereich ist
f injektiv, weil hier keine zwei verschiedenen positiven Zahlen existieren, deren Quadrate identisch sind.
f ist nicht surjektiv, weil nicht alle Werte in
V erreicht werden (nur die negativen Zahlen und Null).
Um
g und
g′ zu finden, bemerken wir, dass
g und
g′ invers zu
f auf
U sein müssen. Da
f innerhalb von
U=[0,+∞) zu
V=(−∞,0] injektiv ist, aber keine wirkliche Umkehrfunktion im üblichen Sinne hat (da
f nicht surjektiv ist), könnte eine Auswahl von Funktionen, die
g∘f=g′∘f=idU erfüllen, schwer zu definieren sein ohne konkrete Funktionen
g und
g′ zu nennen. Generell wäre
g : V→U so zu wählen, dass
g(−x2)=x für
x∈[0,+∞), was jedoch aufgrund der fehlenden Surjektivität von
f problematisch ist.
c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Eine solche Wahl von Mengen ist nicht möglich, da die Funktion
f(x)=−x2 aufgrund ihrer Definition (Quadrieren und Negieren) nicht so eingeschränkt werden kann, dass sie surjektiv, aber nicht injektiv auf Teilbereiche von
R wirkt. Die Wurzel des Problems liegt in der Tatsache, dass jede potentielle Surjektivität sofort auch eine Verletzung der Injektivität mit sich bringt, da
f(x)=f(−x).
d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) bijektiv ist.
Um eine Bijektivität zu erreichen, wählen wir
U=[0,+∞) und
V=(−∞,0]. In dieser Konfiguration ist
f sowohl injektiv als auch surjektiv:
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Injektiv: Keine zwei verschiedenen
x können auf denselben Wert abgebildet werden, da in
U jedes
x eindeutig ist und
f(x) negative Quadratzahlen erzeugt.
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Surjektiv: Jedes Element in
V kann erreicht werden, da jedes negative
y∈V als
y=−x2 für ein
x∈U geschrieben werden kann.
Somit ist
f : U→V bijektiv.