Lösungen zu Aufgaben mit Abbildungen (Surjektivität etc)

Question

Aufgabe (Injektivität und Surjektivität). Es sei f : lR -> lR, x -> -x².

(a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.

(b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist. Finden Sie zudem verschiedene Abbildungen g' : V -> U und g: V -> U mit g o f = g' o f = idU

(c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.

(d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x l--> f(x) bijektiv ist.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lösungen zu Aufgaben mit Abbildungen (Surjektivität etc)

Die gegebene Funktion ist $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -x^2$.

a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.

- Nicht injektiv (Eindeutigkeit): Eine Funktion $f$ ist injektiv, wenn für alle $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, aus $f(x_1) = f(x_2)$ folgt, dass $x_1 = x_2$. Hier jedoch für $x_1 = 1$ und $x_2 = -1$, haben wir $f(x_1) = f(x_2) = -1$, aber $x_1 \neq x_2$. Also ist $f$ nicht injektiv.

- Nicht surjektiv (Abbildung auf): Eine Funktion $f$ ist surjektiv, wenn für jedes Element $y \in \mathbb{R}$ ein $x \in \mathbb{R}$ existiert, so dass $f(x) = y$. Da $f(x) = -x^2$ immer negativ (oder null bei $x = 0$) ist, gibt es kein $x$, für das $f(x)$ positiv ist. Damit existieren positive Zahlen in $\mathbb{R}$, auf die $f$ nicht abbildet. Folglich ist $f$ nicht surjektiv.

b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Wähle $U = [0, +\infty)$ und $V = (-\infty, 0]$. In diesem Bereich ist $f$ injektiv, weil hier keine zwei verschiedenen positiven Zahlen existieren, deren Quadrate identisch sind. $f$ ist nicht surjektiv, weil nicht alle Werte in $V$ erreicht werden (nur die negativen Zahlen und Null).

Um $g$ und $g'$ zu finden, bemerken wir, dass $g$ und $g'$ invers zu $f$ auf $U$ sein müssen. Da $f$ innerhalb von $U = [0, +\infty)$ zu $V = (-\infty, 0]$ injektiv ist, aber keine wirkliche Umkehrfunktion im üblichen Sinne hat (da $f$ nicht surjektiv ist), könnte eine Auswahl von Funktionen, die $g \circ f = g' \circ f = id_U$ erfüllen, schwer zu definieren sein ohne konkrete Funktionen $g$ und $g'$ zu nennen. Generell wäre $g: V \to U$ so zu wählen, dass $g(-x^2) = x$ für $x \in [0, +\infty)$, was jedoch aufgrund der fehlenden Surjektivität von $f$ problematisch ist.

c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Eine solche Wahl von Mengen ist nicht möglich, da die Funktion $f(x) = -x^2$ aufgrund ihrer Definition (Quadrieren und Negieren) nicht so eingeschränkt werden kann, dass sie surjektiv, aber nicht injektiv auf Teilbereiche von $\mathbb{R}$ wirkt. Die Wurzel des Problems liegt in der Tatsache, dass jede potentielle Surjektivität sofort auch eine Verletzung der Injektivität mit sich bringt, da $f(x) = f(-x)$.

d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) bijektiv ist.

Um eine Bijektivität zu erreichen, wählen wir $U = [0, +\infty)$ und $V = (-\infty, 0]$. In dieser Konfiguration ist $f$ sowohl injektiv als auch surjektiv:

- Injektiv: Keine zwei verschiedenen $x$ können auf denselben Wert abgebildet werden, da in $U$ jedes $x$ eindeutig ist und $f(x)$ negative Quadratzahlen erzeugt.

- Surjektiv: Jedes Element in $V$ kann erreicht werden, da jedes negative $y \in V$ als $y = -x^2$ für ein $x \in U$ geschrieben werden kann.

Somit ist $f: U \to V$ bijektiv.