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Lösungen zu Aufgaben mit Abbildungen (Surjektivität etc)
Die gegebene Funktion ist \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto -x^2\).
a) Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.
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Nicht injektiv (Eindeutigkeit): Eine Funktion \(f\) ist injektiv, wenn für alle \(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\), aus \(f(x_1) = f(x_2)\) folgt, dass \(x_1 = x_2\). Hier jedoch für \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), haben wir \(f(x_1) = f(x_2) = -1\), aber \(x_1 \neq x_2\). Also ist \(f\) nicht injektiv.
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Nicht surjektiv (Abbildung auf): Eine Funktion \(f\) ist surjektiv, wenn für jedes Element \(y \in \mathbb{R}\) ein \(x \in \mathbb{R}\) existiert, so dass \(f(x) = y\). Da \(f(x) = -x^2\) immer negativ (oder null bei \(x = 0\)) ist, gibt es kein \(x\), für das \(f(x)\) positiv ist. Damit existieren positive Zahlen in \(\mathbb{R}\), auf die \(f\) nicht abbildet. Folglich ist \(f\) nicht surjektiv.
b) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Wähle \(U = [0, +\infty)\) und \(V = (-\infty, 0]\). In diesem Bereich ist \(f\) injektiv, weil hier keine zwei verschiedenen positiven Zahlen existieren, deren Quadrate identisch sind. \(f\) ist nicht surjektiv, weil nicht alle Werte in \(V\) erreicht werden (nur die negativen Zahlen und Null).
Um \(g\) und \(g'\) zu finden, bemerken wir, dass \(g\) und \(g'\) invers zu \(f\) auf \(U\) sein müssen. Da \(f\) innerhalb von \(U = [0, +\infty)\) zu \(V = (-\infty, 0]\) injektiv ist, aber keine wirkliche Umkehrfunktion im üblichen Sinne hat (da \(f\) nicht surjektiv ist), könnte eine Auswahl von Funktionen, die \(g \circ f = g' \circ f = id_U\) erfüllen, schwer zu definieren sein ohne konkrete Funktionen \(g\) und \(g'\) zu nennen. Generell wäre \(g: V \to U\) so zu wählen, dass \(g(-x^2) = x\) für \(x \in [0, +\infty)\), was jedoch aufgrund der fehlenden Surjektivität von \(f\) problematisch ist.
c) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Eine solche Wahl von Mengen ist nicht möglich, da die Funktion \(f(x) = -x^2\) aufgrund ihrer Definition (Quadrieren und Negieren) nicht so eingeschränkt werden kann, dass sie surjektiv, aber nicht injektiv auf Teilbereiche von \(\mathbb{R}\) wirkt. Die Wurzel des Problems liegt in der Tatsache, dass jede potentielle Surjektivität sofort auch eine Verletzung der Injektivität mit sich bringt, da \(f(x) = f(-x)\).
d) Finden Sie U, V € R mit f(U) Teilmenge von V so, dass f : U -> V, x |-> f(x) bijektiv ist.
Um eine Bijektivität zu erreichen, wählen wir \(U = [0, +\infty)\) und \(V = (-\infty, 0]\). In dieser Konfiguration ist \(f\) sowohl injektiv als auch surjektiv:
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Injektiv: Keine zwei verschiedenen \(x\) können auf denselben Wert abgebildet werden, da in \(U\) jedes \(x\) eindeutig ist und \(f(x)\) negative Quadratzahlen erzeugt.
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Surjektiv: Jedes Element in \(V\) kann erreicht werden, da jedes negative \(y \in V\) als \(y = -x^2\) für ein \(x \in U\) geschrieben werden kann.
Somit ist \(f: U \to V\) bijektiv.
