Zu zeigen ist, dass die Reihe aus den Produkten absolut konvergiert.

Question

Aufgabe:

Sei \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) eine absolut konvergente Reihe und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) \) absolut konvergiert.

Answer 1

Da die Reihe über bn konvergiert, bilden die einzelnen Summanden bn eine Nullfolge. Daher gibt es ein m Element N ab dem die |bn| < 1.

Ab diesem m ist daher die Summe der |an*bn| eine konvergente Majorante, denn |an*bn| < |an|.

Nun kannst du die Summe aufteilen in eine endliche Summe bis m und eine unendliche Reihe, die du nach oben abschätzen kannst mit der Summe über |an|.

Endliche Summen kann man immer berechnen. Die unendliche Reihe als 2. Summanden auch.

==> Die fragliche Reihe konvergiert absolut. qed.

Jetzt ist dein Job noch das Ganze mit Summenzeichen etc. schön aufzuschreiben.