Allgemeinformel für A^n: Eigenvektor

Question

Aufgabe: Berechnen Sie A^120 für die Matrix A = {(2,4),(-1,2)}

Problem/Ansatz:

ich muss ja zuerst die eigenwerte bestimmen, dies sind (2+2i)^n und (2-2i)^n. Danach kommen ja die eigenvektoren, hier ist das probem schätze ich, ich habe da für x und y raus, dass beide unendlich viele werte haben. Nachdem ich ja auch die eigenvektoren raus habe muss ich ja die Formel: A^n=S+J^n*S^-1 (Matrix J ist die, die aus den eigenwerten besteht, und die matrix S ist die, die aus den Eigenvektoren besteht) und da x und y undendlich viele werte haben, habe ich einfach 1 und 1 eingesetzt, was natürlich nicht funktioniert hat. meine frage ist es richtig oder sind die eigenvektoren ganz was anderes?

Comments

Tipp: Es ist A⁴ = -64·E₂.

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das weiss ich ja nur gibt es eine allgemeine formel zu der matrix wo ich jede x beliebige potenz berechnen kann? A^120 hab ich schon ich wollte halt, wie gesagt eine allgemeine formel für diese matrix. Ne Idee?

Answer 1

Wieso sollen \( (2+2i)^n \) Eigenwerte sein? Z.B. für \( n=2 \) folgt, \( (2+2i)^2 = 8i \). Sollte das ein Eigenwert sein, muss gelten \( A v = 8i v \) mit \( v \ne 0 \). Daraus folgt aber, $$  \begin{pmatrix} 2-8i & 4 \\ -1 & 2-8i \end{pmatrix} v = 0  $$ und daraus \( v = 0\) also ist \( 8i \) kein Eigenwert.

Die Eigenwerte sind \( 2 \pm 2i \) und die Eigenvektoren sind \( \begin{pmatrix} \pm 2i \\ 1 \end{pmatrix} \)

Damit ist $$  A = \begin{pmatrix} 2i & -2i \\ 2 & 2+2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-2i & 0 \\ 0 & 2+2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2i & -2i \\ 2 & 2+2i \end{pmatrix}^{-1} $$ und damit $$  A^{120} = \begin{pmatrix} 2i & -2i \\ 2 & 2+2i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-2i & 0 \\ 0 & 2+2i \end{pmatrix}^{120} \begin{pmatrix} 2i & -2i \\ 2 & 2+2i \end{pmatrix}^{-1}  $$

Comments

sry das mit den eigenwerten hab ich falsch geschrieben meinte genau das was du geschrieben hast, nur wie komme ich da auf die eigenvektoren kannst du mir das bitte zeigen. ist der einzige punkt was bei mir falsch ist un danke für die antwort

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Z.B. für den Eigenwert \(  2 - 2i \) muss gelten

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (2-2i) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ und daraus ergeben sich die Gleichungen

$$ (1) \quad 4y = -2ix  $$ und

$$ (2) \quad -x = -2iy  $$

aus (1) folgt \( y = -\frac{i}{2}x \) und wenn man \( x = 2i \) wählt, folgt \( y = 1 \), also ist

$$ \begin{pmatrix} 2i \\ 1 \end{pmatrix} $$ ein Eigenvektor. Für den anderen Eigenvektor geht es genauso.

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In Summe ergibt sich \( A^{120} = \begin{pmatrix} 2^{180} & 0 \\ 0 & 2^{180} \end{pmatrix}  \)

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danke vielmals

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das einzige was mir gefehlt waren halt die einheitsvektoren und ich sehe grad selber da hab ich einen rechenfehler gehabt und deswegen kam es nicht raus danke dir

Answer 2

Das mit den Eigenvektoren war schon OK. Das gibt für S die Matrix

-2i      1
  1     -0,5i

Und die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist J =

2+2i     0
 0     2-2i

und die hoch 4 gibt

-64     0
  0     -64

bzw

 -2^6     0
  0        -2^6

also hoch 8 dann

  2^(12)    0
    0         2^(12) .

und hoch 16 also

  2^(24)    0    
  0         2^(24) .

etc.