Die Aufgabe kann mit der 3. binomischen Formel gelöst werden.
Normalerweise schreibt man die so:
\((a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2\)
Da in der Aufgabe aber schon a und b vorkommen, ist es einfacher, die Formel mit anderen Buchstaben zu schreiben:
\((u+v)\cdot (u-v)=u^2-v^2\)
In der Aufgabe \((\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b)\cdot(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b)\) ist \(\quad u=\frac{1}{2}a\quad;\quad v=\frac{2}{3}b\)
Damit ist \(\quad u^2=u\cdot u = \frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a= \frac{1}{4}a ^2\quad;\quad v^2=v \cdot v=\frac{2}{3}b\cdot \frac{2}{3}b=\frac{4}{9}b^2\)
Also ist \(u^2 - v^2 = \frac{1}{4}a ^2- \frac{4}{9}b ^2\)
Insgesamt: \((\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b)\cdot(\frac{1}{2}a-\frac{2}{3}b)= \frac{1}{4}a ^2- \frac{4}{9}b ^2\)
