Ableitung von arcsin(x) berechnen

Question

wir sollen uns als Hausaufgabe überlegen bzw. im Internet suchen, wie man die Ableitung von arcsin(x) bestimmen kann.

Wir haben bisher beim Ableiten die Faktorenregel, die Potenzregel, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.

Wie kann man damit arcsin(x) ableiten?

Danke euch für jede Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

\(\arcsin(x)\) ist die Umkehrfunktion zu \(\sin(x)\). Das heißt, für alle \(x\) im Definitionsbereich gilt:

$$\sin(\arcsin(x))\equiv x$$Weil beide Seiten identisch sind, können wir beide Seiten nach \(x\) ableiten:

$$\frac{d}{dx}\left(\sin(\arcsin(x))\right)=\frac{d}{dx}(x)$$Links nehmen wir die Kettenregel "äußere mal innere":

$$\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)=1$$Die innere Ableitung \(\arcsin'(x)\) ist genau diejenige, die wir suchen, daher dividieren wir beide Seiten durch \(\cos(\arcsin(x))\) und erhalten:

$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}$$Wegen \(\sin^2x+\cos^2x=1\) ist \(\cos^2x=1-\sin^2x\), sodass:

$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}$$Wegen unserer allerersten Gleichung ist dies jedoch:

$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Comments

Man sollte vielleicht darauf hinweisen, dass dein Ansatz nicht dazu verlocken sollte, zu versuchen, die Umkehrregel mittels der Kettenregel zu beweisen.

Bei der Kettenregel setzen wir die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ja schon voraus.

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In der Aufgabenstellung wird die Differenzierbarkeit des \(\arcsin(x)\) ja auch schon vorausgesetzt. Mir ging es darum, Eluna zu zeigen, wie sie mit den Methoden, die sie bisher gelernt hat, die Ableitung bestimmen kann. Sie fragt ja, "Wie kann man damit \(\arcsin(x)\) ableiten?" Von Umkehrregel hat sie nichts geschrieben.

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Vielleicht ist dieser Hinweis nützlich:

$$\frac{d}{dx}\left(\sin(\arcsin(x))\right)=\frac{d}{dx}(x)$$bedeutet$$\left[\text{ }\sin(\arcsin(x))\text{ }\right]'=[x]'$$

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@Wolfang, das ist eigentlich wohlbekannt.

@Tschakabumba Das stimmt, das habe ich nicht wirklich gelesen. Ich denke auch nicht, dass es Eluna wirklich um ein tieferes Verständnis, als vielmehr um die Anwendung geht.

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@racine:

Wolfang, das ist eigentlich wohlbekannt.

Was du nicht alles weißt :-)

Ich kann mir durchaus vorstellen, dass eine Schülerin diese Schreibweise vielleicht (!) nicht kennt. Wenn Eluna sie kennt, wem schadet der vorsorgliche Hinweis?

Deinen Kommentar halte ich deshalb für absolut überflüssig und ein wenig anmaßend!

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die mir geantwortet haben.

Die Umkehrregel haben wir noch nicht durchgenommen, daher hatte ich Schwierigkeiten, diese Lösungen zu verstehen.

Die Lösung von Tschaka war für mich sofort einleuchtend, sie baut auf dem Zusammenhang zwischen Funktion und Umkehrfunktion auf.

Die Schreibweise mit den dx kenne ich schon vom Differentialquotienten als infinitesimal kleibes Intervall \(\Delta x\).

Danke an alle für eure Hilfe...

Answer 2

wende die Umkehrregel an. Es gilt: \(\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}\). Du hast also \(f:  \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \to [-1,1] , x\mapsto \sin(x)\) und \(f'(x)=\cos(x)\).

Einsetzen ergibt: \(\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{\cos\left(\arcsin(x)\right)}\).

Nach dem trigonometrischen Pythagoras ist \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\) und damit \(\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}\) und folglich letztlich:$$\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{\cos\left(\arcsin(x)\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Answer 3

eine Regel fehlt noch, die Unkehrregel.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Da wird auch das Beispiel des arcsin gezeigt.