Wie berechne ich den Schnittpunkt der Geraden, wenn kein z gegeben ist?

Question

Aufgabe:

ich soll den Schnittpunkt der Geraden

1. 4y + 3x - 5 = 0
und
2. 2y - 3x -1 = 0

bestimmen.

Berechne außerdem die Steigung der 1 Geraden.

Problem/Ansatz:

Was mich iritiert ist, das es kein z gibt.
Daher vermute ich dass mein Ansatz falsch ist:

4y+3x-5 = 2y-3x-1 | -2y, +3x, +1

2y + 6x -4 = 0

Koordinaten (2/6/?)

Danke schon mal für die Hilfe.

Comments

Wenn ein z gegeben wäre, würde es sich um Ebenen handeln, da Geradengleichungen im R^3 nicht in Koordinatenform existieren.

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Bei der Aufgabe sind die Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem und nicht im Raum gegeben. Dadurch ist die Aufgabe einfacher als du denkst.

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Exakt, lediglich in impliziter Form dargestellt.

Answer 1

Du könntest beide Geradengleichungen nach y auflösen und als Funktion schreiben.

4·y + 3·x - 5 = 0 --> y = 1.25 - 0.75·x → Hier kannst du nun auch die Steigung -0.75 ablesen.

2·y - 3·x - 1 = 0 --> y = 1.5·x + 0.5

Setzte jetzt die Geraden gleich

1.25 - 0.75·x = 1.5·x + 0.5 → x = 1/3

Berechne jetzt noch die y-Koordinate des Schnittpunktes

y = 1.5·1/3 + 0.5 = 1 → Schnittpunkt S(1/3 | 1)

Comments

Alternativ das einfachere Additionsverfahren

4·y + 3·x - 5 = 0

2·y - 3·x - 1 = 0

I - 2*II

9·x - 3 = 0 → x = 1/3

Nun noch einsetzen. um y zu bestimmen.

2·y - 3·1/3 - 1 = 0 → y = 1

Die Steigung bei

ax + by + c = 0 kannst du auch mit m = -a/b recht einfach berechnen. Das ist das was vor dem x steht, wenn du nach y auflöst.

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{l}4y+3x&=&5\\2y-3x&=&1\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\left|\begin{array}{c}4&5\\2&1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}4&3\\2&-3\end{array}\right|}=\frac{4-10}{-12-6}=\frac{-6}{-18}=\frac{1}{3}\\y=\frac{\left|\begin{array}{c}5&3\\1&-3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}4&3\\2&-3\end{array}\right|}=\frac{-15-3}{-12-6}=\frac{-18}{-18}=1\end{array}\right.$$Da keine z-Koordinate angegeben ist, kannst du z=0 setzen. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist \(S\left(\frac{1}{3}\;;\;1\right)\).

Die Steigung der ersten Geraden erhältst du durch Umformung:

$$4y+3x-5=0\;\;\Leftrightarrow\;\;4y+3x=5\;\;\Leftrightarrow\;\;4y=-3x+5\;\;\Leftrightarrow\;\;y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$$Also ist die Steigung der ersten geraden \(m_1=-\frac{3}{4}\).