warum {0,1} in der Menge [0,5] enthalten ist,
Das ergibt sich unmittelbar daraus, was {0,1} und [0,5] sind. Wenn du das nicht weißt, dann solltest du dich zunächst das fragen.
{0,1} ist die Menge, die aus den zwei Zahlen 0 und 1 besteht.
[0,5] ist die Menge, die aus den Zahlen besteht, die zwischen 0 und 5 sind, inklusive der 0 und der 5.
Es ist 0 ∈ [0, 5] und g-1(0) = {0}, also ist {0} ⊂ g-1([0, 5]).
Es ist 1 ∈ [0, 5] und g-1(1) = {-1, 1}, also ist {-1, 1} ⊂ g-1([0, 5]).
Somit ist auch {0} ∪ {-1, 1} = {-1, 0, 1} ⊂ g-1([0, 5]).
Weil {-1, 0, 1} der Definitionsbereich von g ist, gibt es keine andere Zahl, die im Urbild von [0, 5] ist.
Also ist {-1, 0, 1} das Urbild von [0, 5].