Frage bezüglich Urbild bei Aufgabe, " Die Menge {0,1} ist in [0,5] enthalten

Question

also ich soll das Urbild von einer Funktion bestimmen. Die Funktion ist g:{-1,0,1}→ℝ : X ↦ | X |

ich soll nun folgendes Urbild bestimmen g⁻1([0,5])

die Lösung ist nun das der Definitionsbereich aus der Menge {-1,0,1} besteht und diese zahlen durch den Betrag auf die Menge {0,1} abgebildet werden. Nun heißt es da die Menge [0,5] enthalten ist ist der komplette definitionsbereich das gesuchte urbild.

nun wollte ich wissen, warum {0,1} in der Menge [0,5] enthalten ist, {0} ist enthalten, aber warum die {0,1}?

hoffe auf hilfe, kann so mit meiner lücke das konzept nicht verstehen!

mfg!

Comments

Die Funktion ist so nicht invertierbar, da sie nicht bijektiv ist.

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ich habe doch hingeschrieben, was die antowort des arbeitsblattes ist?

jetzt bin ich noch verwirrter^^

hoffe auf antwort

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Die Umkehrfunktion \(g^{-1}: g(\{-1,0,1\})\to \{-1,0,1\}\) exisitiert ja auch.

Weißt du nicht, wie man die Betragsfunktion \(|x|=\begin{cases}x , \text{ falls } x\geq 0 \\ -x , \text{ falls } x<0\end{cases}\) umkehrt?

Answer 1

warum {0,1} in der Menge [0,5] enthalten ist,

Das ergibt sich unmittelbar daraus, was {0,1} und [0,5] sind. Wenn du das nicht weißt, dann solltest du dich zunächst das fragen.

{0,1} ist die Menge, die aus den zwei Zahlen 0 und 1 besteht.

[0,5] ist die Menge, die aus den Zahlen besteht, die zwischen 0 und 5 sind, inklusive der 0 und der 5.

Es ist 0 ∈ [0, 5] und g^-1(0) = {0}, also ist {0} ⊂ g^-1([0, 5]).

Es ist 1 ∈ [0, 5] und g^-1(1) = {-1, 1}, also ist {-1, 1} ⊂ g^-1([0, 5]).

Somit ist auch {0} ∪ {-1, 1} = {-1, 0, 1} ⊂ g^-1([0, 5]).

Weil {-1, 0, 1} der Definitionsbereich von g ist, gibt es keine andere Zahl, die im Urbild von [0, 5] ist.

Also ist {-1, 0, 1} das Urbild von [0, 5].

Answer 2

warum ist {0,1} in der Menge [0,5]   ?

Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, heißt das nur:

Jedes Element der ersten ist auch in der zweiten.

In der ersten sind hier ja nur zwei Elemente nämlich

0 und 1.

Jedes der beiden ist auch in  [0,5]  ; in

[0,5]  sind alle reellen Zahlen von (einschließlich) 0

bis  (einschließlich) 5 also insbesondere auch 0 und 1.