Ein Wasserbehälter wird durch zwei Rohre gefüllt - lineare Gleichungen

Question

Aufgabe:

Ein Wasserbehälter wird durch zwei Rohre gefüllt. Ist das erste 2 Stunden und das zweite 7 Stunden geöffnet, so werden 2/3 des Behälters gefüllt; ist das erste 4 Stunden und das zweite 3 Stunden geöffnet, so werden 3/5 des Behälters gefüllt. Berechne, wie lang die Füllung des Behälters dauert (1) für jedes Rohr allein, (2) bei gleichzeitiger Öffnung beider Rohre.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht mal darauf wie man die Gleichung aufstellt, bitte um Hilfe

Answer 1

Bezeichne das Volumen des Behälters als V, das Füllvolumen für Rohr 1 nach 1 Stunde als V₁ und das Füllvolumen für Rohr 2 nach 1 Stunde als V₂.

Somit kannst du Gleichungen aufstellen:

$$\frac{2}{3}V=2V_1+7V_2$$

$$\frac{3}{5}V=4V_1+3V_2$$

Dauer für jedes Rohr einzeln:

$$\frac{2}{3}V=2V_1+7V_2$$

->$$-\frac{4}{3}V=-4V_1-14V_2$$

Addieren mit 2. Gleichung:
$$\frac{3}{5}V=4V_1+3V_2$$

führt zu:

$$-\frac{11}{15}V=-11V_2$$

$$V_2=\frac{1}{15}V$$

Somit erreicht Rohr 2 alleine erst nach 15 Stunden das Gesamtvolumen.

Einsetzen von V₂ in eine der Gleichungen führt zu:

$$V_1=\frac{1}{10}V$$

Somit ist nach 10 Stunden das Gesamtvolumen mit Rohr 1 alleine erreicht.

Für beide Rohre zusammen addierst du ihre Füllvolumen V₁ und V₂ in Abhängigkeit von V (Gesamtvolumen) und erhältst:
$$V_1+V_2=\frac{1}{10}V+\frac{1}{15}V=\frac{1}{6}V$$

Und somit brauchen beide Rohre zusammen 6 Stunden um den Behälter ganz zu füllen.

Answer 2

Ein Wasserbehälter wird durch zwei Rohre gefüllt. Ist das erste 2 Stunden und das zweite 7 Stunden geöffnet, so werden 2/3 des Behälters gefüllt; ist das erste 4 Stunden und das zweite 3 Stunden geöffnet, so werden 3/5 des Behälters gefüllt. Berechne, wie lang die Füllung des Behälters dauert (1) für jedes Rohr allein, (2) bei gleichzeitiger Öffnung beider Rohre.

2x + 7y = 2/3

4x + 3y = 3/5

Löse das Gleichungssystem und erhalte: x = 1/10 ∧ y = 1/15

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Berechne, wie lang die Füllung des Behälters dauert

(1) für jedes Rohr allein,

Für das erste 10 Stunden und für das zweite 15 Stunden

(2) bei gleichzeitiger Öffnung beider Rohre.

1/10 + 1/15 = 1/6

Für beide zusammen 6 Stunden.

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