E-Funktion, Koffeingehalt im Blut , als hätte man gerade 0,5 l Cola getrunken.

Question

Aufgabe:

Koffein gelangt ins Blut und wird dort annähernd exponentiell abgebaut. Wenn man eine große Tasse Kaffee (150ml) getrunken hat, hat man nach ca. 4,5 h einen Koffeingehalt im Blut , als hätte man gerade 0,5 l Cola getrunken.

Koffeingehalt pro 100 ml :

Engery Shot :160 mg

Kaffe: 80 mg

Energy Drink : 32 mg

Cola : 9 mg

Bestimmen Sie, um wieviel Prozent sich Koffein pro Stunde bzw. pro Tag abbaut.

Mein Rechenansatz:

150 ml Kaffee enthalten 1,5 • 80 mg = 120 mg

0,5 l Cola enthalten 5 • 9 mg = 45 mg  Koffein

Man hat dann Punkt 1 (0/120) und Punkt 2 (4,5/ 45)

Diese Punkte habe ich in die Funktionsgleichung f(x)= c • a^x  eingesetzt und als Lösung hatte ich dann 0,8042 raus.

Das richtige Ergebnis wäre :

120 • a^4,5 =45 <---> a hoch \( \frac{9}{2} \) = \( \frac{45}{100} \) =45

a=0,45 hoch \( \frac{2}{9} \) =0,8374

Erste Version der Frage:  wie löst man diese Gleichung ? 120 • a^{4,5} = 45

Comments

Vom Duplikat mit Zahlendreher:

Titel: Gleichung nach a auflösen

Stichworte: exponentialfunktion,brüche,analysis

wie löst man diese Gleichung ?

120 • a^4,5 = 45

Laut der Lösung muss da 0,8374 rauskommen,aber bei mir kommt immer 0,8042 raus.

Answer 1

Hallo Toprak,

kann sein, dass in der vermeintlich richtigen Antwort ein Zahlendreher drin ist. Aus $$120 \cdot a^{4,5} = \colorbox{#ffff00}{54} \\ \implies a = \left( \frac{9}{20}\right)^{\frac 29} \approx 0,8374$$ da hat jemand statt mit \(45\text{mg}\) Koffein mit \(54 \text{mg}\) Koffein gerechnet.

Gruß Werner

Answer 2

Diese Punkte habe ich in die Funktionsgleichung f(x)= c • a^x  eingesetzt

und als Lösung hatte ich dann 0,8042 raus.

Ich bekomme

120 =  f(0)   und   45 = f(4,5 )

120 = c* a^0  und 45 =  c* a ^(4,5)

120 = c             und  45 = 120 * a^(4,5)   | :120

                                3/8 = a^(4,5)

                            ln(3/8) = 4,5 * ln(a)

                           -0,9808 = 4,5 * ln(a)

                             -0,2180 = ln(a)

                         e^(-0,2180) = a

                            0,8042 = a

Bei der Musterlösung stimmt was nicht, es muss heißen

120 • a^(4,5) =45 <---> a hoch (9/2) = 45/120=3/8

Da hat jemand 120 und 100 verwechselt.

und dann a = (3/8)^(2/9) =0,8042

Answer 3

Hallo Toprak,

meine Rechnung gibt $$\begin{aligned} 120 \cdot a^{4,5} &= 45 \\a^{4,5} &= \frac {3}{8} \\ 4,5 \cdot \ln(a) &= \ln\left( \frac 38 \right) \\ \ln(a) &= \frac 29 \cdot \ln \left( \frac 38 \right) \\ a &= e^{\frac 29 \cdot \ln \left( \frac 38 \right)} \approx 0,8042 \end{aligned}$$Dein Ergebnis passt also!

Gruß Werner

Comments

Die exakte Lösung ist aber a=\( \sqrt[9]{\frac{9}{64}} \).

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.. das ist das gleiche! $$e^{\frac 29 \ln\left( \frac 38 \right)} = \left( \frac 38\right)^{\frac 29} = \left( \frac {9}{64}\right)^{\frac 19}$$

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Ich beziehe mich auf

Laut der Lösung muss da 0,8374 rauskommen,

was nur ein schlechter Näherungswert ist.

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Aufgabe:

Koffein gelangt ins Blut und wird dort annähernd exponentiell abgebaut. Wenn man eine große Tasse Kaffee (150ml) getrunken hat, hat man nach ca. 4,5 h einen Koffeingehalt im Blut , als hätte man gerade 0,5 l Cola getrunken.


Koffeingehalt pro 100 ml :

Engery Shot :160 mg

Kaffe: 80 mg

Energy Drink : 32 mg

Cola : 9 mg


Bestimmen Sie, um wieviel Prozent sich Koffein pro Stunde bzw. pro Tag abbaut.


Mein Rechenansatz:

150 ml Kaffee enthalten 1,5 • 80 mg = 120 mg

0,5 l Cola enthalten 5 • 9 mg = 45 mg  Koffein


Man hat dann Punkt 1 (0/120) und Punkt 2 (4,5/ 45)


Diese Punkte habe ich in die Funktionsgleichung f(x)= c • ax  eingesetzt und als Lösung hatte ich dann 0,8042 raus.


Das richtige Ergebnis wäre :

120 • a4,5 =45 <---> a hoch 92
= 45100

=45

a=0,45 hoch 29
=0,8374

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Hallo Toprak,

kann sein, dass in der vermeintlich richtigen Antwort ein Zahlendreher drin ist. Aus $$120 \cdot a^{4,5} = \colorbox{#ffff00}{54} \\ \implies a = \left( \frac{9}{20}\right)^{\frac 29} \approx 0,8374$$ da hat jemand statt mit \(45\text{mg}\) Koffein mit \(54 \text{mg}\) Koffein gerechnet.

Gruß Werner