Aloha :)
Du hast 6 Punkte bzw. 6 Wertepaare \((x|y)\) gegeben. Die setzt du zunächst in die Modellgleichung ein:
$$8=y(1)=a+b+c$$$$10=y(2)=4a+2b+c$$$$17=y(3)=9a+3b+c$$$$21=y(4)=16a+4b+c$$$$34=y(5)=25a+5b+c$$$$45=y(6)=36a+6b+c$$Du erhältst ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem, das in Matrixschreibweise so aussieht:
$$\left(\begin{array}{c}8\\10\\17\\21\\34\\45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\4 & 2 & 1\\9 & 3 & 1\\16 & 4 & 1\\25 & 5 & 1\\36 & 6 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$$Im Sinne der Methode der kleinsten Fehlerquadrate erhältst du die optimale Lösung für \((a,b,c)\) wenn du beide Seiten der Gleichung von links mit der transponierten Matrix multiplizierst und das entstehende quadratische Gleichungssystem löst:
$$\left(\begin{array}{c}1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36\\1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}8\\10\\17\\21\\34\\45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3007\\603\\135\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c}1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36\\1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\4 & 2 & 1\\9 & 3 & 1\\16 & 4 & 1\\25 & 5 & 1\\36 & 6 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2275 & 441 & 91\\441 & 91 & 21\\91 & 21 & 6\end{array}\right)$$
$$\Rightarrow\quad\left(\begin{array}{c}2275 & 441 & 91\\441 & 91 & 21\\91 & 21 & 6\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3007\\603\\135\end{array}\right)$$Das Gleichungssystem habe ich nun nicht mehr von Hand gelöst, sondern in einen Online-Löser eingegeben. Als Ergebnis kommt raus:
$$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1,23214\ldots\\-1,16785\ldots\\7,9\end{array}\right)$$Die gesuchte Regressions-Parabel lautet also:
$$y(x)=1,2321\,x^2-1,1679\,x+7,9$$
