Regressions-Gerade und approximieren?

Question

Hi, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

(a) Gegeben sind 4 Messpunkte:

x	0	1	2	3
y	2,9	5,1	7,1	8.8

Bestimmen Sie die Parameter m, n ∈ R der Regressions-Geraden f(x) = mx + n, sodass der Abstand zu den Messwerten - nach der Methode der kleinsten Quadrate - möglichst klein wird.
(b) Wir wollen die drei Messwerte
(x₁, y₁) = (e, 1), (x₂, y₂) = (e², e³) und (x₃, y₃) = (e³, e⁵)
mit der Potenzfunktion f(x) = ax^b approximieren. Geben Sie a, b ∈ R so an, dass der Abstand (nach Methode der kleinsten Quadrate) der Potenzfunktion zu den Messwerten möglichst klein wird.
(Logarithmieren Sie die Messwerte und die Potenzfunktion.)

Danke.

Answer 1

Für a) einfach ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem aufstellen und dann z.B. mit Normalformel die Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate bestimmen.


Für b) das Gleiche wie in a) machen, jedoch erst die Eingabedatenpunkte transformieren, wie folgt:
\( y_{n}=a x_{n}^{b} \Longleftrightarrow \ln \left(y_{n}\right)=\ln (a)+b \ln \left(x_{n}\right) \Longleftrightarrow \widetilde{y}_{n}=\widetilde{a}+b \widetilde{x}_{n} \)
Nun \( \widetilde{a} \) und \( b \) wie normal bestimmen und \( \operatorname{dann} a=e^{\widetilde{a}} \) nutzen, um das eigentliche \( a \) zu erhalten. Funktioniert hier, da alle Datenpunkte positiv sind.


Zur Erinnerung: Die Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate eines überbestimmten Systems

\(\textbf{A}\textbf{x} = \textbf{b}\)

ist die Lösung des Systems

\(\textbf{A}^{\mathsf{T}}\textbf{A}\textbf{x} = \textbf{A}^{\mathsf{T}}\textbf{b}\)

und eindeutig, wenn \(\textbf{A}\) vollen Rang hat.

Answer 2

Ich geh mal davon aus, dass a) klar geht?

Für b) sei

\( \left\{ a_0 \; x^{a_1} → \ln\left(a_0 \; x^{a_1} \right)→ \ln\left(a_0 \right) + a_1 \ln\left(x \right) \right\} \)

setze a_2=ln(a_0), x=ln(x)

\(f(x) \, :=  \, a_1 \; x + a_2\)

\(\left(f\left(\ln\left(x\left(j \right) \right) \right) = \ln\left(y\left(j \right) \right),j,1,3 \right)\)

\( \left\{ a_1 + a_2 = 0, a_1 \cdot 2 + a_2 = 3, a_1 \cdot 3 + a_2 = 5 \right\} \)

===>

A (a_j) = b

\(  \, \left(\begin{array}{rr}1&1\\2&1\\3&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}a_1\\a_2\\\end{array}\right) =   \, \left(\begin{array}{r}0\\3\\5\\\end{array}\right) \)

A^T A (a_j) = A^T b

(a_j) = (A^T A)^-1 A^T b

(a_j) = \(\left(\begin{array}{r}2.5\\-2.33333\\\end{array}\right)\)

\(f(x) \, :=  \,   0.09697 \; x^{2.5}   \)