Taykorreihe approximieren, Extremstelle bestimmen, Hilfe

Question

Aufgabe:

Funktion durch Taylorreihe approximieren, x=0 ist eine Extremstelle, zu bestimmen welche Art

Problem/Ansatz:

die Funktion ist gegeben durch sin(x)+cos(x)+e^x-2x+1/12x^4

Ordnung ist nicht gegeben. Habe 3mal abgeleitet aber an der Stelle 0 wird der Wer immer zu 0. Hab also keine Ahnung wie ich beweisen soll, ob es sich um ein maximum, minimum oder Sattelpunkt handelt

Answer 1

Hallo,

Wilkommen in der Mathelounge!

Habe 3mal abgeleitet aber an der Stelle 0 wird der Wert immer zu 0.

wenn Du noch ein weiteres Mal ableitest erhältst Du$$f^{(4)}\left(x\right)=\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)+e^{x}+2\\ f^{(4)}(0)=4$$Es handelt sich bei der Extremstelle also um ein Minimum.

Die Taylorreihe bis zu Ordnung 4 wäre also$$T_{4f}(x)= 2 + \frac{4}{4!}x^4 = 2 + \frac{1}{6}x^4$$

https://www.desmos.com/calculator/tyq34lkqty

Blau ist der Graph der Funktion \(f(x)\) und \(T_{4f}\) ist rot.

Gruß Werner

Answer 2

Hättest du noch einmal abgeleitet, wärst du praktisch fertig gewesen.
Es ist \(f^{(4)}(0) = 4\)
Damit gilt per Taylor
$$f(x) = f(0) + \underbrace{\frac{f^{(4)}(t)}{4!}x^4}_{>0 \text{ nahe } 0} \text{ für } t \text{ zwischen } 0 \text{ und } x $$
Also \(f(x) > 2\) in einer Umgebung von \(x=0\), d.h. lokales Minimum.