Induktionsbeweis: Summenformel für Kubikzahlen. 3 Terme - Welche muss ich nun zeigen?

Question

Aufgabe: 

Zeige mit Induktion dass:$$\sum_{i=1}^{n} i^{3}=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^{2}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.$$

Problem/Ansatz:

Muss ich den ersten Term  und den zweiten Term zeigen und erst dann den ersten mit dem dritten ? 
Oder wie muss ich hier vorgehen  ?

Comments

Wurde vorher schon mal bewiesen, dass 1+2+...+(n-1)+n=n(n+1)/2 ist? Das würde im hinteren Teil ja einfach nur diese Gleichung quadriert und der eigentlich Induktionsbeweis müsste nur vom 1. zum 2. oder dritten Term gehen.

Answer 1

Ich würde den ersten mit dem dritten und den zweiten mit dem dritten Term zeigen. Wenn das gilt gilt auch das der erste Term gleich dem zweiten Term ist.

Brauchst du selber bei der Induktion Hilfe oder schaffst du das so?

Comments

Hilfe: Ist das richtig ? 

Induktionsanfang: 
Zeige ich es für n = 1. 

Induktionsverankerung:
Hier weiss ich nicht was effektiv tun? Ausser zu schreiben, Für ein beliebiges aber festes n gilt die Aussage. 

Induktionsschluss:
Ich zeige, dass ich von n nach n+1 komme.

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Die Induktionsverankerung ist in diesem Fall das es für n = 1 gilt. Da brauchst du nur 1 einseten und zeigen das überall das gleiche (1) heraus kommt.

Induktionsschluss oder schritt ist richtig. Wenn es für n gilt zeigst du, dass es auch für n + 1 gilt.

Answer 2

nehmen wir mal als bewiesen, dass \(\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n-1)}{2}\) und \(\sum_{i=1}^{n} i^{3}=\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{4}\), dann weißt du, dass \(\left(\sum_{i=1}^{n}{i}\right)^2=\sum_{i=1}^{n} i^{3}\)

Also beweise \(\sum_{i=1}^{n} i^{3}=\frac{n^2(n-1)^2}{4}\).

Vice versa ist natürlich auch legitim.

Comments

"Also beweise..." Du hast dich da vertippt, sollte ein + kein - sein :)

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Richtig. Noch öfter passiert es mir, bei der geomtrischen Reihe den Anfangswert nicht zu beachten, nervig!

Answer 3

Aloha :)

Verankerung bei \(n=1\):$$\sum\limits_{i=1}^1i^3=1\quad;\quad\frac{1^2\cdot(1+1)^2}{4}=\frac{4}{4}=1\quad\checkmark$$

Induktionssschritt \(n\to n+1\):

$$\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^3=\sum\limits_{i=1}^ni^3+(n+1)^3\;\stackrel{I.V.}{=}\;\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)^3}{4}$$$$=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)(n+1)^2}{4}=\frac{(n^2+4n+4)(n+1)^2}{4}=\frac{(n+2)^2(n+1)^2}{4}$$$$=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}\quad\checkmark$$Nach dem Induktionsschritt erhältst du die zu zeigende Summenformel, allerdings mit \(n+1\) statt mit \(n\).

Answer 4

Tipp: Beschäftige dich mit dem ersten Teil. Vgl. https://www.mathelounge.de/533387/induktionsbeweis-summen-kubikzahlen-quadratzahlen-fertig

oder mit

https://www.mathelounge.de/484991/beweisen-sie-induktion-folgendes-summenformel-kubikzahlen bzw. https://www.mathelounge.de/255780/vollst-induktion-summe-der-kubikzahlen 

Der zweite Teil, die Teilsummenformel für arithmetische Reihen ist sicher bekannt.