Thema: Verkettung von Abbildungen Problem. f(x) = -x^2 + x + 2

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier nicht ganz, was bei diesem Schritt gerechnet wurde (rot unterstrichen)... Zudem verwirren mich, dass in der Gleichung (mit dem Fragezeichen drüber) Klammern wie von einem geschlossenen Intervall verwendet werden?

Ergänzung Kommentar:

Ich bin mir nur nicht 100% sicher, ob ich alles richtig verstanden habe;

In der Lösung steht ja dass es eine Verschiebung um -9/4 nach unten gibt. Ist damit also eine Verschiebung um 9/4 nach oben gemeint?

In der Formel ist das +- vor dem c ja nicht auch für das d gültig.



Primär verwirrt mich, dass in der Formel das +- vor dem c das d nicht mit einschließt, in dem Graph f die eckige Klammer die - 9/4 aber einschließt...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Verschiebung von f(x) nach unten/oben

Stichworte: verschiebung,verkettung

Aufgabe:

 

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nur nicht 100% sicher, ob ich alles richtig verstanden habe;

In der Lösung steht ja dass es eine Verschiebung um -9/4 nach unten gibt. Ist damit also eine Verschiebung um 9/4 nach oben gemeint?

In der Formel ist das +- vor dem c ja nicht auch für das d gültig.

Primär verwirrt mich, dass in der Formel das +- vor dem c das d nicht mit einschließt, in dem Graph f die eckige Klammer die - 9/4 aber einschließt...

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- [ ( x - 1/2 )^2 - 9/4 ]
Verschiebung nach rechts
- [ ( x - 1 )^2 - 9/4 ]
Verschiebung nach oben plus 9/4
- ( x - 1 )^2 )
Spiegelung an der x-Achse
 ( x - 1 )^2

Meine Verschiebung nach rechts unterscheidet sich
von der Buchlösung.

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Deine Verschiebung nach rechts ist falsch.

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Warum machst du aus 1/2 auf einmal 1?

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Links oder Rechtsverschiebung
werden mit ( x + 1/2 ) oder ( x -1/2 )
erzielt
Hier entweder
( x + 1/2 + 1/2 ) = x + 1
oder
( x + 1/2 - 1/2 ) = x

Falls du einen Plotter hast probier beides
einmal aus.

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@georgborn: Es geht nicht darum, den Graphen von f irgendwo hin zu verschieben, sondern darum, wie der Graph von f durch Verschieben des Graphen von g entsteht.

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Nachfragen bitte bei der Originalfrage stellen.

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@Lu: wenn meine Frage jetzt unter dieser anderen Frage erscheint, werde ich wahrscheinlich keine Antworten auf meine jetzige Frage bekommen... das finde ich echt schade

Es ist zwar dieselbe Aufgabe, aber unterschiedliche Fragen dazu. Meine Frage, die ich gestern gestellt habe, ist ja ein ganz anderes Thema wie das hier jetzt...

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Du zwingst mit dieser Frage die Leute, die Rechnungen von gestern nochmals zu machen.

Ich zitiere MC:

Ist das so klar oder hast du Nachfragen?

Und https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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In der Lösung steht ja dass es eine Verschiebung um -9/4 nach unten gibt

Der Text meiner Meinung nach so verkehrt.

Man kann den Graphen um 9/4 nach unten verschieben oder um -9/4 in Richtung der y-Achse.

Eine Verschiebung um -9/4 nach unten ist eigentlich eine Verschiebung um +9/4 nach oben und das ist in diesem Fall nicht gemeint.

Die Formel ist aber auch so verkehrt

man könnte glauben der Verfasser war gerade nicht ganz bei der Sache. Bzw. hat wie auch ich oft nicht richtig nachgedacht.

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Eine Verschiebung um -9/4 nach unten ist eigentlich eine Verschiebung um +9/4 nach oben und das ist in diesem Fall nicht gemeint.

Dran denken, dass nach der eckigen Klammer noch eine Spiegelung an der x-Achse kommt.

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ok...
Danke auf jeden Fall schon mal für die Antworten. Die Texte sind aus einem Mathe Univorkurs mit dem ich gerade lerne.
Aber um es zusammenzufassen:
Es gibt eine Verschiebung um 9/4 nach oben und dann wird alles einmal an der x-Achse gespiegelt.

Da wäre es ja viel übersichtlicher gewesen, das - gar nicht auszuklammern...

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Achtung: Am Schluss muss der Scheitelpunkt am richtigen Ort sein.

Wenn du P(a|2.25) an der x-Achse spiegelst, kommst du auf P'(a|-2.25). D.h. du müsstest danach die Parabel nochmals nach oben verschieben.

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Es gibt eine Verschiebung um 9/4 nach oben und dann wird alles einmal an der x-Achse gespiegelt.

Ich denke der Text meint eine Verschiebung um 9/4 nach unten. Der Autor des Textes war wohl beim Schreiben etwas unaufmerksam. Kann passieren, sollte aber nicht.

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Hallo mathecoach,
Betr. deinen zweitletzten Kommentar.
Die Formel ist aber auch so verkehrt
Die Umformungen sind meiner Meinung nach richtig.
Hier meine Umformung zu Fuß

Answer 1

Aloha :)

Es wurde eine sogenannte "nahrhafte Null" für die quadratische Ergänzung eingebaut:

$$x^2-x-2=x^2-x+\underbrace{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}_{=0}-2=\underbrace{x^2-x+\left(\frac{1}{2}\right)^2}_{=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2-2$$$$=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-2$$

Comments

"Nahrhafte Null" :-)

Schöne Lösung. Mit Zeilenumbrüchen vor den Gleichheitszeichen wäre es meiner Meinung nach noch übersichtlicher.

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Ja, vielen Dank! 

Answer 2

Mittels quadratischer Ergänzung umformen in die Scheitelpunktform

y = - x^2 + x + 2
Minus ausklammern
y = -(x^2 - x - 2)
quadratisch ergänzen
y = -(x^2 - x + 0.5^2 - 0.5^2 - 2)
y = -((x^2 - x + 0.5^2) - 0.5^2 - 2)
mit 2. binomischer Formel Faktorisieren
y = -((x - 0.5)^2 - 0.5^2 - 2)

Die Klammern wurden verschieden gewählt damit du es etwas einfacher hast die Klammerausdrücke zu erkennen.

Ist das so klar oder hast du Nachfragen?

Comments

Klar, quadratisches Ergänzen! Jetzt fühle ich mich etwas blöd, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin.

Aber vielen Dank dir!

Answer 3

Zum Nachtrag:

~plot~ -x^2 + x + 2;x^2;(x-1/2)^2;(x-1/2)^2-2.25;x=1/2;2.25;-2.25 ~plot~

Verfolge die Schritte von g zu f im Plot und vergleiche mit der Beschreibung der Funktionsgleichung mit den vielen Klammern und die Beschreibung der Schritte im Buch.

Das Vorgehen mit der Klammerung im Beispiel führt zu drei Schritten.

Die allgemeine Formel, bei der die äussere Klammer anders geschlossen ist, kann dazu führen, dass du häufiger spiegeln musst.

Comments

Die Beschreibung bezieht sich auf die umgeformte Version ganz rechts in der Rechnung.

Hier steht doch "Verschieben um -9/4 nach unten". Das ist ok. Man kann sich natürlich streiten, ob das Minus nötig ist, wenn "nach unten" dahinter steht. Das ist "doppelt genäht".

Sobald der Scheitelpunkt klar ist und bekannt ist, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, ist  W_f bekannt.

Answer 4

meiner Meinung nach sind 3 Schritte notwendig
Ausgangsfunktion
ersetzen : x durch x +1/2
Verschiebung nach oben durch Subtraktion  von 9/4

blau = f
rot = f1
grün = f2

Jetzt käme noch die Spiegelung an der x-Achse durch
Multiplikation mit -1. g ( x ) = f2 * (-1)
g ( x ) = x^2