Eine allgemeine Formel, um zu erkennen ob eine Funktion Nullstellen besitzt oder nicht (sowie die Anzahl) gibt es nicht.
Es gibt jedoch immer die Möglichkeit mit f(x)=0 die entsprechenden Nullstellen zu ermitteln / eine falsche Aussage zu erhalten, wenn keine Nullstellen vorhanden sind.
Ansonsten gibt es auch die Möglichkeit, die Anzahl potentiell möglicher Nullstellen abzuschätzen.
z.B. können ganzrationale Funktionen, d.h. Funktionen der Struktur
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}...a_{1}x^1+a_{0}$$
generell nur eine Anzahl von maximal n Nullstellen haben (durch Zerlegung in Linearfaktoren).
Exponentialfunktionen ohne zusätzlichen Term, d.h.:
$$g(x)=a*e^{bx+c}, \left\{a,b,c∈R; a,b≠0\right\}$$
haben generell keine Nullstellen, da eine Potenz nur 0 sein kann, wenn die Basis 0 ist (e ist aber größer als 0).
Es gibt auch noch gewisse Sätze um Nullstellenanzahlen einzugrenzen (z.B. Zwischenwertsatz).
Auch hilft es, sich die Verläufe verschiedener möglicher Funktionen (also nur die grundlegenden Funktionen, wie z.B. h(x)=ex , i(x)=sin(x), k(x)=x2 ...) und Verschiebungsregeln (in x- und y-Richtung) zumindest einigermaßen einzuprägen, um bei Nullstellenabschätzungen effektiver zu sein.
Bei deinem Fall mit der Funktion
$$f(x)=(ax+b)^2+c$$
bestimmt nur die Konstante c, ob deine Funktion keine (c>0), eine (c=0) oder zwei (c<0) Nullstellen besitzt. Da c=4>0 besitzt deine Funktion keine Nullstelle.
(Ich nehme hier an, dass f(x) stetig über dem kompletten Definitionsbereich ist, sowie dass x∈R)
