Aussage vereinfachen - gemacht. Ist das aber erlaubt, was ich mache? (Stichwort Kommutativität)

Question

Korrektur ! (wegen Abschreibfehler)

Es müsste heissen: Vereinfachen Sie: $$ (A∧B) ∨ ¬(A∨¬B) $$

Somit ist es nicht mehr eine Tautologie...





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Falsch gestellter Post ab hier:
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Aufgabe:

Seien A,B Aussagen. Vereinfache:
$$ (A ∧ B) ∨ ¬(A∧B) $$

Bild: 



Unsicherheit / Verwirrung:
Ich bin mir Unsicher ob das was ich in der 2. Zeile verwendet habe, auch erlaubt ist. (Kommutativität

Schilderung und Frage zur 2. Zeile und dritten Zeile: 

1. Zeile: Ich bin mir sicher zuerst kommt die Negation.

2. Zeile: Innerhalb der Klammer mit nur Konjunktion sind Aussagen Kommutativ - Stimmt das? 

3. Zeile: Wie heisst das rückwärts Distributivgesetz in Aussagen ?  (Beim Rechnen heisst es Faktorisieren). 

4. Zeile: A und nicht A ist wahr. 

5. Zeile: B und wahr ist wahr.

Comments

$$(A ∧ B) ∨ ¬(A∧B)$$Das hat mit dem Bild aber eher weniger zu tun?

Deine Umformungen dort sind aber richtig.

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Ausgehend von   \( (A ∧ B) ∨ ¬(¬A∧B) \)

müsste  die erste Zeile deiner Umformung

\( (A ∧ B) ∨ (A ∨ ¬B) \)  lauten.

Das richtige Ergebnis ist dann ¬A ∨ B

Answer 1

Hallo limonade,

\( (A ∧ B) ∨ ¬(A∧B) \)

 ist wahr, weil   X ∨ ¬X   für alle X wahr ist

In deiner ersten Zeile muss in der hinteren Klammer vorn ¬A stehen.

Oder der gegebene Term müsste \( (A ∧ B) ∨ ¬(¬A∧B) \) lauten, dann wäre deine Umformung richtig.

Gruß Wolfgang

Comments

Korrektur ! (wegen Abschreibfehler)

Es müsste heissen: Vereinfachen Sie: $$ (A∧B) ∨ ¬(A∨¬B) $$

Somit ist es nicht mehr eine Tautologie... 
Was meinst du hierzu, ist meine Lösung in der Fragestellung somit doch richtig ?

Answer 2

Aloha :)

Wenn \(A\land B\) wahr ist, ist \(\overline{A\land B}\) falsch und umgekehrt. Genau eines von beiden ist daher immer wahr. Daher ist der gesamte Ausdruck immer 1. Das folgt auch rechnerisch

$$(A\land B)\lor\overline{A\land B}=\overline{\overline{A\land B}}\lor\overline{A\land B}=\overline{\overline{A\land B}\land(A\land B)}=\overline{(\overline A\lor\overline B)\land(A\land B)}$$$$=\overline{(\underbrace{\overline A\land A}_{=0}\land B)\lor(\underbrace{\overline B\land\ B}_{=0}\land A)}=\overline{0\lor0}=\overline0=1$$

Comments

Das folgt auch rechnerisch

Das würde dann heißen, dass die Voraussetzung

¬ (A∧B) = ¬A ∨ ¬B    (Gesetz von de Morgan)

grundlegender ist als das (unmittelbar einsichtige)

 X ∨ ¬X  = wahr  (Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten)    ?

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Korrektur ! (wegen Abschreibfehler)

Es müsste heissen: Vereinfachen Sie: $$ (A∧B) ∨ ¬(A∨¬B) $$

Somit ist es nicht mehr eine Tautologie...
Was meinst du hierzu, ist meine Lösung in der Fragestellung somit doch richtig ?

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Was meinst du hierzu, ist meine Lösung in der Fragestellung somit doch richtig ?

Ja, die Schritte sind richtig.

Ein rückwärts Distributivgesetz gibt es eigentlich nicht. Man begründet beide Richtungen nur mit "Distributivgesetz"

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Dan. ist das Endresultat B richtig ?

Ok, ich ändere das und nenne es dann Distributivgesetz.

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Dan. ist das Endresultat B richtig ?

Ja.

Du kannst dir mit diesem Tool Wahrheitstafeln zeichnen lassen:

http://wahrheitstabelle.daug.de/#/

Wie du siehst ist die Spalte  für (a∧b)∨¬(a∨¬b) identisch mit der Spalte "b", somit ist $$ b \iff (a∧b)∨¬(a∨¬b) $$.

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Wow, vielen vielen Dank !! :-)

Answer 3

(A ∧ B) ∨ ¬ (A ∧ B)

Substituiere Z = A ∧ B

Z ∨ ¬ Z

Komplämentärgesetz Z ∨ ¬ Z = 1

1

Resubst. entfällt

Comments

(A ∧ B) ∨ ¬ (A ∧ ¬B)

(A ∧ B) ∨ (¬A ∨ B)

(A ∧ B) ∨ (¬A ∨ B)

(A ∨ ¬A ∨ B) ∧ (B ∨ ¬A ∨ B) 

1 ∧ (B ∨ ¬A)

B ∨ ¬A