Question

Gibt es so etwas wie "Teil"-Kommutativität? Mir ist gerade bei einem Beweis mit Signum aufgefallen, dass die Subtraktion zwar nicht Kommutativ ist, jedoch die Information beibehalten wird, dass das Ergebnis entweder gerade oder ungerade ist. Das Ergebnis ist bei einer Vertauschung also nicht dasselbe, aber es gibt gewisse Informationen die erhalten bleiben.

Deshalb nun meine Frage: Funktioniert Kommutativität nach einem Ja/Nein Prinzip oder gibt es Abstufungen?

Answer 1

Da gibt es keine Abstufungen, entweder etwas ist kommutativ,

oder nicht. Ggf. gibt es für solche Gesetze einen besonderen

Begriff.

Answer 2

Die von den Elementen der Form \(xyx^{-1}y^{-1}\) erzeugte Untergruppe \(H\)
einer Gruppe \(G\) ist sozusagen das "Hindernis" für die Kommutativität.
Diese Untergruppe ist ein Normalteiler und zwar der "kleinste",
so dass \(G/H\) kommutativ ist.
Man kann also in einem gewissen Sinne die Größe von \(H\)
als Maß für die Nichtkommutativität ansehen.