Untersuchen Sie für beliebige natürliche Zahlen a, b auf Assoziativität und Kommutativität.

Question

Eine binäre Operation in ℕ ist eine Abbildung ϕ : ℕ × ℕ → ℕ. Untersuchen Sie die folgenden binären Operationen für beliebige natürliche Zahlen a, b auf Assoziativität und Kommutativität. Gibt es jeweils linksneutrale oder auch rechtsneutrale Elemente?

a) ϕ(a, b) = a^b,
b) ϕ(a, b) = ggT(a, b), (Es sei ggT(0, 0) = 0.)
c) ϕ(a, b) = kgV(a, b). (Es sei kgV(a, 0) = 0.)

Answer 1

Für Assoziativität musst du nur prüfen:

ϕ(ϕ(a, b) ,c)  = ϕ(a ,ϕ(b,c))

Im 1. Fall also

(a^b)^c =  a^(b^c)

Das stimmt nicht immer, Gegenbeispiel ist etwa

(2^3)^2 = 8^2 = 86  aber  2^(3^2) = 2^9 = 512 .

Kommutativ gilt auch nicht, denn 2^3 = 8 aber 3^2 = 9

also nicht beides gleich.

linksneutrales Element e müsste für alle x aus N ergeben

e^x = x sowas gibt es aber nicht.

rechtsneutrales e gibt es aber schon

x^e = x gilt für e=1 , also 1 rechtsneutral.

Comments

Hey vielen lieben Dank für deine Antwort, die hat mir sehr weitergeholfen und ich hab es gleich mal für die anderen Aufgaben probiert.

b)

Assoziativität:

Der Beweis geht schlicht und einfach so, dass man zeigt, dass jede Seite der Gleichung von der jeweils anderen geteilt wird.

ggT(ggT(a,b),c) = ggT(a,ggT(b,c))

ich setze ggT(ggT(a,b),c) = g

und ggT(a,ggT(b,c)) = g'

zu zeigen: 1) g ≤ g' ∧ 2) g' ≤ g

1) g | ggT(a,b) ⇒ g | a ∧ g | b ; g | c } g ≤ g'

2) g' | a ; g' | ggT(b,c) ⇒ g' | b ∧ g' | c } g' ≤ g

⇒ g ≤ g' ∧ g' ≤ g ⇒ g = g'

Kommutativität:

ggT(a,b) = ggT(b,a)

ich setze ggT(a,b) = g

und ggT(b,a) =g'

zu zeigen: 1) g ≤ g' ∧ 2) g' ≤ g

1) g | a ∧ g | b } g ≤ g'

2) g' | b ∧ g' | a} g' ≤ g

⇒ g ≤ g' ∧ g' ≤ g ⇒ g = g'

neutrales Element:

Die 0 ist das neutrale Element, da stets ggT(a,0) = a, da ja jede Zahl die 0 teilt und somit der größte Teiler von a entscheidend ist, und bei a = 0 der Wert ggT nach Definition 0 ist.

Also rechts als auch linksneutral?

c)

Assoziativität und Kommutativität parallel zu b) ?

neutrales Element:

Die 1 ist das neutrale Element, da stets KgV(a,1)=a, da ja jede Zahl ein Vielfaches der 1 ist.

Also rechts, als auch linksneutral?

Ich würde mich wahnsinnig freuen, falls du mir nochmal feedback geben kannst und falls Fehler auftauchen mich darauf hinzuweisen.^^