Funktionsgleichung der Parabel durch die Punkte P1(1/14), P2(4/-4) und P3(3/-2)?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind ihnen drei Punkte, die auf der Parabel liegen. Bestimmen Sie daraus die Funktionsgleichung. P1(1/14) P2(4/-4) P3(3/-2)

Problem/Ansatz:

Hätte gerne einen Lösungsweg. Vielen Dank. :)

Answer 1

Aloha :)

Die Gesuchte hat die Form: $$y(x)=ax^2+bx+c$$Wir setzen die 3 gegebenen Punkte ein:

$$\begin{array}{l}14&=&y(1)&=&a\cdot1^2+b\cdot1+c&=&a+b+c\\-4&=&y(4)&=&a\cdot4^2+b\cdot4+c&=&16a+4b+c\\-2&=&y(3)&=&a\cdot3^2+b\cdot3+c&=&9a+3b+c\end{array}$$Wir subtrahieren Gleichung 1 von Gleichung 3

$$III-I\;:\quad(9a+3b+c)-(a+b+c)=(-2)-14$$$$\phantom{III-I\;:\quad}8a+2b=-16$$$$\phantom{III-I\;:\quad}4a+b=-8$$und wir subtrahieren Gleichung 1 von Gleichung 2
$$II-I\;:\quad(16a+4b+c)-(a+b+c)=(-4)-14$$$$\phantom{II-I\;:\quad}15a+3b=-18$$$$\phantom{II-I\;:\quad}5a+b=-6$$Die erhaltenen beiden Gleichungen können wir wieder subtrahieren:$$(5a+b)-(4a+b)=-6-(-8)$$$$5a+b-4a-b=2$$$$\underline{a=2}$$Jetzt können wir \(a=2\) einsetzen:$$5a+b=-6\quad\Leftrightarrow\quad5\cdot2+b=-6\quad\Leftrightarrow\quad10+b=-6\quad\Leftrightarrow\quad \underline{b=-16}$$Und zum Schluss können wir \(a=2\) und \(b=-16\) einsetzen:$$a+b+c=14\quad\Leftrightarrow\quad2-16+c=14\quad\Leftrightarrow\quad-14+c=14\quad\Leftrightarrow\quad \underline{c=28}$$Das war's:$$y(x)=2x^2-16x+28$$

Answer 2

Hast du die Wertetabelle und die Schablone der Normalparabel zur Hand?

Zeichne mal die gegebenen Punkte im Koordinatensystem ein.

P1(1/14) , P3(3/-2), P2(4/-4)

Nun vielleicht noch alles mit halbierten y-Koordinaten:

Q1(1/7) , Q3(3/-1), Q2(4/-2)

Halte hier deine Schablone hin.

Und dann noch bei

Q1(1/7) ,Q4(2|2), Q3(3/-1), Q2(4/-2)

Könnte mir vorstellen, dass das passt.

Wenn nicht, musst du halt rechnen.