Wie beweise ich Surjektivität bei f:R->R , x-> (x-1)(x-2)(x-3)?

Question

Aufgabe:

Ist die Abbildung f:R->R , x->(x-1)(x-2)(x-3) surjektiv.

Beweisen sie rechnerisch

Problem/Ansatz:

Ich weiß ja, dass Surjektivität durch ∀y∈B ∃x∈A mit f(x) = y bewiesen wird.

Allerdings verstehe ich nicht, wie ich von meiner Definition und meiner Abbildung auf eine Aussage kommen kann.

Comments

VyeB JxeA mit f(x) = y

Wenn du in der Menüleiste des Editors auf "Sym" klickst, dann findest du verschiedene in der Mathematik gebräuchliche Symbole, wie zum Beispiel ∀, ∈ und ∃.

Answer 1

Ausmultiplizieren von (x-1)(x-2)(x-3) liefert ein Polynom dritten Grades. Aus dem Globalverlauf von Polynomfunktionen dritten Grades und der Stetigkeit von Polynomfunktionen folgt mit dem Zwischenwertsatz die Surjektivität.

∀y∈B ∃x∈A mit f(x) = y

Sei y∈ℝ.

Sei x₀ ∈ ℝ, so dass f(x₀) < y. Wegen des Globalverlaufs lim_x→-∞ f(x) = -∞ existiert ein solches x₀.

Sei x₁ ∈ ℝ, so dass f(x₁) > y. Wegen des Globalverlaufs lim_x→∞ f(x) = ∞ existiert ein solches x₁.

Fall 1. x₀ < x₁. Dann exitiert laut Zwischenwertesatz ein x ∈ [x₀, x₁] ⊂ ℝ, so dass f(x) = y ist.

Fall 2. x₁ < x₀. Dann exitiert laut Zwischenwertesatz ein x ∈ [x₁, x₀] ⊂ ℝ, so dass f(x) = y ist.

Fall 3. x₀ = x₁. Dieser Fall kann nicht vorkomen, weil er der Wahl f(x₀) < y < f(x₁) widerspricht.