dass ich nicht weiss was diese Äquivalenzrelation ist.
Hier sehe ich nicht einmal was die Relation "macht".
Deswegen weiss ich nicht,
wo ich anfangen soll.
Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation die
- reflexiv: Für alle x gilt x ~ x
- symmetrisch: Für alle x und y gilt: Aus x ~ y folgt y ~x.
- transitiv: Für alle x,y und z gilt: Wenn x ~ y und y ~ z, dann ist auch x ~ z.
ist. Hier ist ~ jetzt einfach eine Äq.rel auf der Menge der natürlichen Zahlen, die aber zusätzlich noch:
a ~ (a+5) und a ~ (a+8)
für alle natürlichen Zahlen a erfüllt.
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In a) sollst du ja nur 1 ~ 2 zeigen. Ich schätze 1 ~ 9 ~ 17 und 2 ~ 7 ~ 12 ~ 17 sind klar. Das ist einfach anwenden der beiden Zusatzeigenschaften. Aus der Transitivität folgt also 1~17 und 2~17. Symmetrie: 1~17 und 17~2, wieder Transitivität: 1 ~ 2.
Kannst du mir erklären was diese Relation macht, oder kann man diese Relation auch anders umschreiben ?
Der Sinn dieser Aufgabe ist vermutlich euch mit einer Relation arbeiten zu lassen die implizit und nicht explizit definiert ist. Du sollst dir also selbst erklären, wie diese Relation aussieht. Das passiert in Aufgabe b)
Wenn du das vorgehen aus a) abstrahierst:
n ~ n+8 ~ (n+8)+8 = n + 16
(n+1) ~ (n+1)+5 ~ ((n+1)+5)+5 = n + 16
Siehst du ja, dass n ~ (n+1) für alle natürlichen Zahlen gilt. Wenn du dir jetzt zwei natürliche Zahlen wählst, nennen wir sie mal n und m und ohne Einschränkung soll n < m gelten. Dann folgt mit den bisherigen Überlegungen:
n ~ (n+1) ~ n+1+1 ~ ... ~ n+1+1+...+1 ~ m
Also stehen bezüglich dieser Relation alle natürlichen Zahlen paarweise in Relation zueinander. Das heißt es gibt nur eine Äquivalenzklasse.
