Bestimme den Inhalt, der von beiden Graphen eingeschlossener Fläche. - Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Question

Gegeben sind die Funktionen: 

f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 4
g(x) = -x^{2} + 4

Schnittpunkte

g(x) = f(x) 
-x^{2} + 4 = x^{4} - 5x^{2} + 4
0 = x^{4} - 4x^{2} 
0 = x^{2} ( x^{2} - 4)

N_(1)( -2 I 0 )
N_(2)( 0 I 4 )
N_(3)( 2 I 0 )

Integral berechnen

g(x) ist die obere bei der Eingeschlossenen Fläche, deswegen g(x)-f(x)

∫_(-2 bis 2) g(x) - f(x) dx
∫_(-2 bis 2) -x^{4} + 4x^{2} dx

= ( x^{5}/5 + 4x^{3}/3 )
= F(2) - F(-2)
= 472/15

Und das ist glaube ich Falsch, der Integralrechner Online liefert ein anderes Resultat und zwar: -128/15 (Negative Fläche!)

Answer 1

Hallo limonade,

g(x) - f(x)  =  - x⁴ + 4x²  

Du musst normalerweise von Nullstelle zu Nullstelle der Differenzenfunktion integrieren und die Beträge der Integrale addieren.

Hier wäre das wegen der Symmetrie egal, aber deine Stammfunktion ist falsch: 

F(x) =  - x⁵/5 + 4x³/3

Wegen der Symmetrie der Differenzenfunktion zur y-Achse kannst du hier einfach.

A  =  2 * | ₀∫² ( - x⁴ + 4x²)  dx |  =  2 * 64 / 15   = 128/15  rechnen.

Wenn du den Betrag setzt, musst du dir keine Gedanken machen, welche Funktion in den Intervallen zwischen den Nullstellen jeweils oben liegt.

Gruß Wolfgang

Comments

Cool, vielen Dank, ja ich hab die Aufgabe zuerst mit 2*das Integral von 0 bis 2 gerechnet aber kam auf ein völlig anderes Resultat. 

Das mit den Beträgen habe ich nur gesehen, wenn sich die Flächen abwechseln. 

Zb rechnet man dann für A im positiven und B im Negativen 

A + IBI Aber kann man generell sagen, wenn man Integrale mit in Beträge stellt, dass die Lösung am Ende dann stimmen muss?

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So ist es :-)

Answer 2

Erstens hast du 3 Schnittpunkte bei
x = -2
x = 0
x = 2

Differenzfunktion
d ( x ) = -x⁴ + 4x²

2 Integrale bilden
∫ d ( x ) zwischen -2 und 0
und
∫ d ( x ) zwischen 0 und 2
( aufgrund der Symmetrie zur y-Achse
braucht nur 1 Integral berechnet zu werden )

Den Wert absolut setzen und mal 2 nehmen.

128 / 15 ist das richtige Ergebnis.

Answer 3

> g(x) ist die obere bei der Eingeschlossenen Fläche

Diese Mühe lohnt sich oft nicht.

> ∫_{-2 bis 2} g(x) - f(x) dx

Du musst berücksichtigen, dass du auch bei x = 0 einen Schnittpunkt hast. An diesem Schnittpunkt kann es sich ändern, welche Funktion oberhalb der anderen verläuft.

Berechne deshalb |∫_{-2 .. 0} g(x) - f(x) dx | + |∫_{0 .. 2} g(x) - f(x) dx |.

> ∫_{-2 bis 2} -x⁴ + 4x² dx = ( x⁵/5 + 4x³/3 )

Stammfunktion von -x⁴ + 4x² ist -x⁵/5 + 4x³/3.

Zur Notation:

\(\begin{aligned}\int_{-2}^2 -x^4 + 4x^2 &= [-x^5 + 4x^3]_{-2}^2\\&=(-2^5 + 4\cdot 2^3) - (-(-2)^5 + 4\cdot (-2)^3) \end{aligned}\)

Oder falls du irgendwann schon vorher gesagt hast, dass F(x) = -x⁵ + 4x³ ist, dann genügt auch 

\(\begin{aligned}\int_{-2}^2 -x^4 + 4x^2 &= F(2) - F(-2) \\&=(-2^5 + 4\cdot 2^3) - (-(-2)^5 + 4\cdot (-2)^3) \end{aligned}\)

Answer 4

Der von dir gebildete Stammfunktion fehlt gleich zu Anfang ein Minuszeichen. Wird es ergänzt, geht die Rechnung durch:

(-2^5/5 + 4*2^3/3) - (-(-2)^5/5 + 4*(-2)^3/3) = 128/15

Die Integrationsgrenzen von -2 bis +2 sind ok, die Differenzfunktion wechselt an der Stelle x=0 ja nicht ihr Vorzeichen. Gleichwohl lohnt es sich eventuell, die Symmetrie auszunutzen, denn schließlich macht

2*(-2^5/5 + 4*2^3/3) = 128/15

weniger Arbeit.