Definitionsmenge der Funktion y = ln(-x^2 + x + 2) wird gesucht

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann mir jdm. erklären, warum hier in der Menge nach >0 gesucht wird?

Comments

@Lu:

tut mir echt leid, aber in meinem Skript werden beide Aufgaben separat behandelt. Kann ich was dafür, dass die die gleiche Gleichung in 2 versch. Aufgaben (mit verschiedenen Lösungswegen & verschiedenen Fragen meinerseits!!) dran bringen?

Ich verstehe vollkommen, dass man eine Aufgabe nur 1x stellen darf, aber das hier sind 2 versch. Aufgaben mit 2 versch. Schwerpunkten! 

---

@osc: Das sehe ich auch so. Das Zusammenschiebebn von Aufgaben ist in vielen Fällen nicht hilfreich!

---

Nein. Das ist eine separate Frage, die ich bereits beantwortet habe(unten). Du musst sie einfach abtippen (Schreibregeln) und erwähnen, dass du die Ungleichung dann schon selbst lösen kannst.

Zudem solltest du im freien Text (Überschrift use.) die Fachbegriffe "Gleichung und Funktion" sauber auseinander halten. Definitonsbereich und Zuordnungsvorschrift gehören zum Thema Funktionen.

https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Abtippen als Kommentar genügt, falls deine Bearbeitungszeit abgelaufen ist.

Answer 1

Wie Lu bereits sagte ist der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. So wie bei der e-Funktion die Funktionswerte eben nur positiv sein können.

Daher

-x^2 + x + 2 > 0 --> -1 < x < 2

Der höchste Funktionswert dieser nach unten geöffneten Parabel ergibt sich aus dem Funktionswert in der Mitte der beiden Nullstellen

Sx = (-1 + 2)/2 = 1/2 = 0.5

Sy = -0.5^2 + 0.5 + 2 = 2.25

da der ln(x) eine streng monoton steigende Funktion ist ergeben sich die Funktionswerte im Intervall

von lim x->0 ln(x) bis ln(2.25)

also im Intervall ]-∞ ; ln(2.25)].

Comments

Zusammenfassung:

Definitionsmenge von f ist das Intervall (-1|2). Abgelesen am blauen Graphen deiner vorherigen Frage: https://www.mathelounge.de/656911/thema-verkettung-von-abbildungen-problem-f-x-x-2-x-2

Wertemenge von f ist das Intervall  ]-∞ ; ln(2.25)]. Begründet von MC.

Answer 2

Nutze die Resultate von https://www.mathelounge.de/656911/thema-verkettung-von-abbildungen-problem-f-x-x-2-x-2

Kann mir jdm. erklären, warum hier in der Menge nach >0 gesucht wird?

Der Logarithmus ist nur für Argumente grösser als 0 definiert. 

Answer 3

Aloha :)

$$y(x)=\ln(-x^2+x+2)=\ln(\,-(x^2-x-2)\,)=\ln(\,-(x+1)(x-2)\,)$$Die Nullstellen sind \(-1\) und \(2\) und es gilt:$$-(x+1)(x-2)>0\quad\text{für}\quad x\in\,]-1;2[$$Der Definitionsbereich ist daher: $$\underline{D=\{\left.x\in\mathbb{R}\,\right|\, -1<x<2\}}$$Zur Bestimmung des Wertebereichs betrachte:$$-(x^2-x-2)=-\left(x^2-x+\underbrace{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}_{=0}-2\right)=-\left(\,\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\,\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{4}$$Damit wird:$$y(x)=\ln\left(-\,\underbrace{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}_{\ge0}+\frac{9}{4}\,\right)$$Weil das Quadrat immer \(\ge0\) ist, liegt der maximale Funktionswert bei$$y\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(\frac{9}{4}\right)$$Der Wertebereich der Funktion \(y(x)\) ist damit:$$\underline{W=\left\{\left.y\in\mathbb{R}\,\right|\,-\infty<y\le\ln\left(\frac{9}{4}\right)\right\}}$$