C^2 = En, wenn C diagonalisierbar ist

Question

Aufgabe:

Soll zeigen, dass für C ∈ ℝ^nxn mit Eigenwerten aus {-1,1} C^2 = En gilt, wenn C diagonaliserbar ist.

Habe normal n Ansatz komme da aber zu nichts, habe die Formel für diagonaliserbarkeit aufgeschrieben und habe keine Ahnung wie ich daraus etwas allgemeines ableiten kann.

D=S^-1 CS

Answer 1

Wenn C nur die Eigenwerte 1 und -1 hat , dann gibt es eine Diagonalmatrix D

mit nur 1en und -1en auf der Hauptdiagonalen mit D=S^(-1) * C * S

Dann ist D^2 = E , denn D2 hat ja die Quadrate der Diagonalelemente von D

auf der Hauptdiagonalen, das sind dann eben alles 1en.

==> E  =  D^2 = S^(-1) * C * S *  S^(-1) * C * S

 <=>             E    = S^(-1) * C * C * S

  <=>             E    = S^(-1) * C^2  * S     | *S^(-1)  (von rechts)

 <=>             E *S^(-1)   = S^(-1) * C^2  * S  *S^(-1)

 <=>             S^(-1)   = S^(-1) * C^2  * E

<=>             S^(-1)   = S^(-1) * C^2  * E      | *S  (von links)

<=>          S*   S^(-1)   = S* S^(-1) * C^2

<=>         E   = E * C^2

<=>         E   =  C^2     q.e.d.