Fläche unter zwei Graphen und über der x-Achse berechnen: Wofür der Schnittpunkt?

Question

berechnen sie den inhalt der abgebildeten fläche A. errechnen sie zunächst die schnittstelle der beiden funktionen.

f(x) = e^x und g(x) = e^(1,5-0,5x)

schnittpunkt bei (1 | 2,71)

in der abbildung sieht man, dass auf der x Achse einmal die 0 und die 3 eingetragen sind. bei der 3 ist auch eine art strich nach oben, was vermutlich die fläche eingrenzen soll. wenn die untere intervallgrenze 0 ist und die obere 3, wofür brauche ich dann den schnittpunkt der beiden funktionen? danke

Answer 1

Du kannst nicht einfach die Differenzfunktion auf [0;3] integrieren, weil nicht die Fläche zwischen beiden FG gesucht ist.

\(A=\displaystyle\int\limits_{0}^1 e^x\, dx + \displaystyle\int\limits_{1}^3 \exp(1.5-0.5x)\, dx \approx 5.16\)

Comments

aber wenn man die abbildung betrachtet ist es doch die fläche zwischen den graphen was da berechnet werden soll bzw. unter? oder... und warum hast du die intervalle aufgetrennt und nicht einfach von 0 bis 3.. könntest du deinen gedankengang erläutern pls das wäre sehr nett :)

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Welche Funktion willst du denn von 0 bis 3 integrieren?

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die differenzfunktion weil die abgebildete fläche unter den beiden graphen liegt

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Integrierst du die Differenzfunktion erhältst du immer noch die Fläche zwischen beiden Funktionen, nicht unter ihnen!

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danke! gibt es da vilt ne regel woran man erkennen kann ob ich differenzfunktion brauche oder so wie du es gemacht hast?

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Ja, die Regel heißt "verstehendes Lesen".

Klingt hart, ist aber so.

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was für einige selbstverständlich ist, ist für den anderen eben nicht so eindeutig vor allem wenn man mit solchen aufgabenstellungen vorher noch nie konfrontiert war aber du hast recht, das richtige und vor allem verstehende lesen sollte ich nochmal üben aber aufs gelbe vom ei stoße ich dabei alleine nie

also villt ne antwort zur frage? XD

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Du berechnest mit dem Integral \(\displaystyle\int\limits_{a}^b f(x)\, dx\) die Fläche zwischen der Funktion f und der x-Achse.

Wenn die Differenzfunktion den Integranden darstellt, entspricht das dem Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen.

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Zwei Fragen: und wie sieht das integral aus wenn ich die fläche zwischen der funktion und der y-achse haben will? des weiteren, wenn ich die fläche zwischen zwei funktionen will, die aber unter ihnen liegt, keine differenzfunktion?

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Du könntest die Umkehrfunktion bilden.

wenn ich die fläche zwischen zwei funktionen will, die aber unter ihnen liegt, keine differenzfunktion?

Die Fläche zwischen der unteren Funktion und der x-Achse berechnen?

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ich meine wie bei meiner aufgabenstellung

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Siehe meine Antwort.

Bis links vom dem Schnittpunkt integrierst du die Funktion f, und rechts davon die Funktion g.

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eine frage: gibt es einen unterschied in der berechnung, wenn ich die fläche von A die von funktion f ung g sowie der y achse begrenzt wird rechne oder wenn diese mit der x-achse begrenz wird? gibt es da nen unterschied?

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Eine Integrationsgrenze wird null sein, wenn die Fläche von der y-Achse begrenzt wird.

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danke! :) und wie sieht es aus, wenn die x-achse berechnet werden soll?

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aso ups omg vielen dank !! :DD

Answer 2

Hast du effektiv nicht begriffen, dass man die grüne und die blaue Fläche addieren muss, wenn man die von Larry bemalte Fläche bestimmen will?

Entscheidend ist hier "über der x-Achse". Das gehört mit zur Fragestellung.

Die grüne und die blaue Fläche liegen beide zwischen der x-Achse (Gleichung y=0) und einem der beiden gebogenen Graphen.

Nun integrierst du im linken Bereich die Differenz (g(x) - 0)  über das Intervall 0 bis 1

und im rechten  Bereich die Differenz (f(x) - 0)  über das Intervall 1 bis 3.