Rechnen mit Periodischen Zahlen

Question

Hallo liebe community.

Hier meine Frage mit der ich ein wenig Hadere:

sei x= 0,9999...

10x = 9,9999... I -x

10x -x = 9,999... -x

9x = 9,999... - 0,999...

9x = 9

x = 1

?

Oder anders formuliert:

1/3 = 0,333...  Ix3

3x1/3 = 3x0,333...
3/3 = 0,999....

1 = 0,999...

?

Wo liegt mein Denkfehler?
Meine überlegung ging dahin, dass man 9,999.... ja auch als
9x10^0 + 9x10^{-1} + 9x10^{-2} + 9x10^{-3} .... +9x10^n+9x10^{n-1}

schreiben kann.

Aber leider komm ich an dieser stelle nicht wirklich weiter.

Ein Impuls wie ich weiter vorgehen könnte wäre überaus hilfreich.

Vielen dank schonmal

Comments

Erklärung dazu z.B. bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Doppeldeutigkeit_der_Darstellung

"Diese Identität ist sinnvoll, da zwei reelle Zahlen  und  nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl  gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also  oder  gilt. Offensichtlich kann im Fall  und  kein solches  existieren."

oder auch unter dem Stichwort "geometrische Reihe."

Answer 1

ich glaube, dass wirklich gilt:

1 = 0,99999999999999...

bzw.

1/3 = 0,333333333333...

da bei einer Periode das n im Exponenten ja unendlich groß wird.

Weiteres Indiz dafür:

Wenn ich in meine Mathe-App (für Android) eingebe

0,333333333333333 * 3 (nach der 0 folgt 15mal die 3), dann erhalte ich als Ergebnis 1.


Oder man denke an die oft zitierte Torte:

Teile ich sie in drei gleich große Stücke auf, so ist die Summe der Stücke immer noch eine ganze Torte - obwohl jedes Stück nur 0,333333333... groß ist.

Besten Gruß

Comments

die tortenanalogie kann man auch auf die zahl 1 übertragen. es ist 3 * 1/3 = 1.

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@ gorgar:

Ganz genau, das wollte ich damit sagen. Nur dass bei Verwendung von 1/3 erst gar nicht die Frage aufkommt, ob 3 * 1/3 = 1 ist.

Bei 3 * 0,3333333333... hingegen kann man schon - wie der Fragesteller - zweifeln:
Ist 0,999999999999... ≠ 1 ?

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@brucybabe

Danke erstmal für die rasche Antwort.


Leider löst dies mein Problem nicht wirklich. Das Geräte wie Taschenrechner und co nur im Rahmen ihrer Rechenleistung agieren können und daher 0,9999... vermutlich auf 1 runden, erklärt für mich nicht, wo nun das 0,000...0001 te Stückchen geblieben ist, oder existiert selbiges gar nicht?

Und somit stellt sich mir tatsächlich die von dir schon genannte Frage:

kann mathematisch bewiesen werden, dass 0,999... = 1  tatsächlich stimmt?

Wenn ja, wie?

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Es ist tatsächlich \(0,\bar{9}=1.\)

Zu deinem Einwand: Das 0,0000...0001-te Stückchen gibt es gar nicht. Da müssten nämlich unendlich viele Nullen stehen, und dann noch eine Eins. Wie soll das gehen?

 

Hier wird sehr gut beschrieben, wie man das beweisen kann, und wie nicht: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=439867.

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Damit hat Nick, glaube ich, alles zu diesem Thema gesagt.

Vielen Dank dafür!