Stellen sie einen der Vektoren als Linearkombination von 3 anderen dar.

Question

Also wir haben hier einen Standardvektorraum V = ℝ^4

Die Vektoren sind \( v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(4,4,0,0), v_{3}=(3,4,2,1), v_{4}=(2,3,1,1), v_{5}=(1,0,0,0) \)

(1) Zeigen Sie einen der Vektoren als Linearkombination aus 3 anderen Vektoren. Zeigen sie auch, dass sich einer der Vektoren nicht als Linearkombination aus den anderen darstellen lässt.

(2) Zeigen Sie, dass ⟨v1⟩∪⟨v2⟩ kein Unterraum von V= ℝ^4 ist.  Zeigen sie auch, dass ⟨v1,v4,v5⟩∪⟨v2⟩ ein Unterraum ist von V ist.

Answer 1

Zu (1):  v₂ = -2v₁ + 2v₄ + 2v₅.
Die Gleichung  v₃ = x₁v₁ + x₂v₂ + x₄v₄ + x₅v₅  führt zum Widerspruch  1 = 2. Daher ist  v₃  nicht als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar.