Untere Schranke für Konfidenzniveau finden

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Aus Wetteraufzeichnungen der letzten } n \text { Tage schätzt der Wetterfrosch Aminata die durch- }} \\ {\text { schnittliche Temperatur in Kinshasa auf } \overline{X} \text { Grad. Hierbei geben die unabhängigen und }} \\ {\text { mit unbekanntem Erwartungswert } \mu \text { sowie Standardabweichung } \sigma=2 \text { normalverteilten }} \\ {\text { Zufallsvariablen } X_{i} \text { die Temperaturen der einzelnen Tage an. }}\end{array}$$

$$ \begin{array}{l}{\text { (a) Finden Sie eine möglichst kleine untere Schranke für } n, \text { sodass } \overline{X} \text { mit einem Konfi- }} \\ {\text { denzniveau von } 0,9 \text { höchstens } 1 \text { Grad von } \mu \text { abweicht. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich stehe leider bei der a) total auf dem Schlauch, kann mir jemand erklären wie man hier vorgehen muss?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Das Konfidenzintervall berechnet sich wie folgt $$ \overline{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \overline{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ D.h. $$  | \overline{x} - \mu | \le z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ Jetzt soll gelten $$ | \overline{x} - \mu | \le z_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < 1 $$ Daraus folgt $$ n > z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2 \sigma^2 $$ Wobei \(  z_{1-\frac{\alpha}{2}} \) das \( 1 - \frac{\alpha}{2} \) Quantil der Standardnormalverteilung ist und \( \alpha = 0.1 \)  und \( \sigma = 2 \) gilt.