Bei (1.) ist Dir ein kleiner Fehler unterlaufen, es muss heissen
$$ F_{x}(x) = \left \{\begin{array}{cc}{0} & {x<0} \\ {\frac{x}{n \cdot d}} & {0 \leq x \leq n \cdot d} \\ {1} & {x>n \cdot d}\end{array}\right.$$
Zu (2.)
Die Gleichung für $$ \text{Pr}[Y \le y] $$ bedeutet $$ \text{Pr}[Y \le y] = \sum_{i=0}^n \left[ F_X(\text{id} + y) - F_X(\text{id} - y) \right] = \sum_{i=0}^n \text{Pr} [ \text{id} - y \le Y \le \text{id} + y ] $$ D.h. es werden die Wahrscheinlichkeiten für die Weglängen berechnet, um zur i-ten Station zu kommen. Anschließend werden diese Wahrscheinlichkeiten aufsummiert, und das ergibt die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Weglänge.
Zu (3.)
Per Definition gilt $$ F_Y(y) = \text{Pr}[Y \le y] = \sum_{i=0}^n \left[ F_X(\text{id} + y) - F_X(\text{id} - y) \right] $$
Für die Verteilungsfunktion muss gelten \( F_Y(0) = 0 \) und \( F_Y\left( \frac{d}{2} \right) = 1 \)
$$ F_Y(0) = \sum_{i=0}^n [ F_X( \text{id} - F_X( \text{id} ] = 0 $$ und
$$ F_Y \left( \frac{d}{2} \right) = \sum_{i=0}^n \left[ F_X \left( \text{id} + \frac{d}{2} \right) - F_X \left( \text{id} - \frac{d}{2} \right) \right] = \\ \frac{ \frac{d}{2} }{nd} + \frac{d}{nd} (n-1) + 1 - \frac{nd -\frac{d}{2}}{nd} = 1 $$ Das passt also!
Zu (4.)
Um den Erwartungswert zu berechnen, benötigt man die Dichte der Zufallsvariablen und die berechnet sich Ableitung der Verteilungsfunktion. Wenn man das macht kommt man auf die Dichte $$ f_Y(y) = \frac{1}{\frac{d}{2}} = \frac{2}{d} $$
Der Erwartungswert berechnet sich dann wie folgt $$ \int_0^{\frac{d}{2}} f_Y(y) ~ y ~ dy = \frac{d}{4} $$
Aus \( nd = 10000 \) und \( \frac{d}{4} = 250 \) folgt \( n = 10 \)