Beweis der zeitlichen Ableitungsregel in der Fouriertransformation

Question

Hallo allerseits !

Ich kann nicht nachvollziehen wieso der 1. Term, der rechten Seite gegen Null konvergiert:

$$F[\frac{d}{dt}f(t)] = [f(t)e^{-iwt}]^{+\infty}_{-\infty} + iw \int_{+\infty}^{-\infty} f(t)e^{-iwt}dt$$

Ich habe mir schon einige Skripte angeschaut und es wird oft mit damit argumentiert, dass $$f(t)$$ und $$f'(t)$$ absolut Integrabel sind. Ich verstehe nur nicht wieso daraus folgt, dass dieser erste Term für $$|t| - > + - \infty$$ gegen Null konvergiert. Vielen Danke für Eure Hilfe !

Answer 1

wenn f(t) qudratintegrabel ist, daher

$$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2dt < \infty$$ , dann folgt

$$\lim\limits_{x\to\pm \infty}f(t)=0$$

Damit strebt auch der erste Term bei dir gegen 0, den e^{iwt}

ist nur eine komplexe Phase und ändert hier nichts am Grenzwert 0.