Wahrscheinlichkeiten Tetraeder

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Wir betrachten einen fairen Tetraeder, dessen Flichen mit den Zah- }} \\ {\text { len } 1,2,3 \text { und } 4 \text { beschriftet sind. Angenommen, der Tetraeder werde }} \\ {k \geq 1 \text { mal geworfen. Sei } E \text { das Ereignis, dass in jedem Wurf die gle- }} \\ {\text { che Zahl gefallen ist. Weiterhin sei } F \text { das Ereignis, dass das Produkt }} \\ {\text { ler } k \text { geworfenen Zahlen gerade ist. }}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von } E \text { . }} \\ {\text { 2. Berechnen Sie die Wahreheinlichkeit von } F \text { . }} \\ {\text { 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von } E \cup F \text { . }} \\ {\text { 4. Wie groß ist } k, \text { falls } E \text { und } F \text { unabhäng sind? }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

1. müsste Pr[E]=4*(1/4)^k sein, wenn mein Ansatz richtig ist

2. Meine Überlegung war, dass das Produkt genau dann gerade ist, wenn mindestens eine gerade Zahl enthalten ist, dementsprechend war meine Überlegung das ganze über die Gegenwahrscheinlichkeit zu modellieren, also 1 - die Wahrscheinlichkeit, dass man nur ungerade Zahlen am Stück wirft:

Pr[F]=1-2*(1/2)^k

Wie muss ich bei der 3 und 4 vorgehen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

1.

P(E) = 4 * 0.25^k = 0.25^(k - 1)

2.

P(F) = 1 - 0.5^k

3.

P(E ∩ F) = 2 * 0.25^k

P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F) = 1 + 2·0.25^k - 0.5^k

4.

P(E) * P(F) = P(E ∩ F) → k = 1