Binomialverteilung mit Hilfe von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion finden

Question

Aufgabe:

$$\begin{array}{l}{\text { Chamäleon Antonio begibt sich für } t \text { Tage in den Regenwald, um Insekten zu fangen. }} \\ {\text { Am i-ten Tag begegnet er } n_{i} \text { Insekten, allerdings gelingt es inm jeweils nur mit Wahr- }} \\ {\text { scheinlichkeit } p, \text { ein solches zu fangen. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist unabhängig von }} \\ {\text { vorherigen Versuchen. Sei } X \text { die Gesamtanzahl gefangener Insekten nach } t \text { Tagen. }}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\text { 1. Bestimmen Sie } n^{\prime} \text { und } p^{\prime}, \text { sodass } X \text { binomialverteilt mit Parametern } n^{\prime} \text { und } p^{\prime} \text { ist. }} \\ {\text { Führen Sie einen Beweis mittels wahrscheinlichkeitserzeugender Funktionen. }} \\ {\text { 2. Faultier Frederik wettet, dass Antonio von den nächsten } 1800 \text { Insekten höchstens }} \\ {610 \text { fängt. Antonio ist optimistisch und wettet dagegen. Berechnen Sie näherungs- }} \\ {\text { weise die Wahrscheinlichkeit, mit der Frederik die Wette gewinnt, falls } p^{\prime}=1 / 3 \text { . }} \\ {\text { Approximieren Sie dafür die Binomialverteilung mithilfe der Standardnormalvertei- }} \\ {\text { lung. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht, wie ich bei der 1. vorgehen muss. Kann mir da jemand helfen

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Du hast \( N = \sum_{i=1}^t n_i \) Elementarereignisse \( X_i \) die Bernoulli verteilt sind mit Wahrschscheinlichkeit \( p \). Die \( WeF \) einer Bernoulli verteilten Zufallsvariable ist \(  G_{X_i}(s) = q + ps \) mit \( q = 1 - p \). Da die Ereignisse alle unabhängig voneinander sind, gilt mit \(  X = \sum_{i=1}^n X_i \) das die \( WeF \) wie folgt aussieht $$  G_X(s) = (q +ps)^N  $$ Diese \( WeF \) ist aber die \( WeF \) einer Binomialverteilung mit Parameter \( N \) und \( p \).