Extremalprobleme: Flughafenfeuerwehrplatz

Question

Aufgabe:

Zwischen Flugplatz, Wald und nördlichen Flussrand, der für 0<=x>=12 durch die Funktion f(x) = 1/12 x^2 -x +5 beschrieben wird, soll ein achsenparalleles, dreieckiges Gelände A für dieFlughafenfeuerwehr angelegt werden.

Wie muss der Anschlusspunkt P (x/f(x)) am Fluss gewählt werde , damit der Platz A möglichst groß wird?

Answer 1

Hallo nochmal,

$$ \begin{array}{l}{f(x)=\frac{1}{12} x^{2}-x+5} \\ {\text { Fläche Dreieck: } \frac{g \cdot h}{2}} \\ {g=12-x} \\ {h=5-f(x)} \\ {A=\frac{(12-x)(5-f(x))}{2}}\\ =\frac{(12-x)\left(5-\frac{1}{12} x^{2}+x-5\right)}{2}\end{array} $$

Diverse Umformungen führen zu

$$A=\frac{1}{24}x^3-x^2+6x$$

davon die Ableitung

$$A'=\frac{1}{8}x^2-2x+6$$

und die Extremwerte berechnen... (Ergebnis s. Mathecoach)

Answer 2

A = 1/2·(12 - x)·(5 - f(x)) = 1/24·x^3 - x^2 + 6·x

A' = 1/8·x^2 - 2·x + 6 = 0 → x = 4

f(4) = 7/3 → P(4 | 7/3)