Ortskurve-Wendepunkt mit Parametern

Question

Aufgabe:

Hallo die Aufgabe ist von einer erstellten Wendepunkt-Funktion mit Parametern die dazugehörige Ortskurve zu erstellen und anschließend einzuzeichnen.

Kt(x)= x^3-tx^2+50x+40

t=5,8,10,12,13

WP(1t/3|(-2t/27)^3+50t/3+40)

Problem/Ansatz:

Weiss nicht so recht wie ich das X vom WP in das Y einsetzen solle.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Kt(x) = x^3 - t·x^2 + 50·x + 40

Kt'(x) = 3·x^2 - 2·t·x + 50

Kt''(x) = 6·x - 2·t = 0 --> t = 3·x

Für die Ortskurve der Wendepunkte ersetzen wir den Parameter jetzt in der Funktion

y = x^3 - (3·x)·x^2 + 50·x + 40 = - 2·x^3 + 50·x + 40

Man kann auch die X-Koordinate vom WP zum Parameter auflösen. Das ergibt das gleiche. Weil die Notwendige Bedingung für die Wendepunkte die gleiche war.

Skizze

~plot~ x^3-5x^2+50x+40;x^3-8x^2+50x+40;x^3-10x^2+50x+40;x^3-12x^2+50x+40;x^3-13x^2+50x+40;-2x^3+50x+40;[[-5|10|-100|200]] ~plot~

Comments

danke für die Schnelle Antwort,wie ich jetzt verstanden hab muss ich nicht unbedingt beim Zähler die 1 schreiben was tue ich aber wenn da z.B. -5 steht.

Mit freundlichen Grüßen.

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Dann hast du es verkehrt verstanden.

Man darf nicht einfach den Zähler weglassen.

Es ist ein unterschied ob ich die notwendige Bedingung ft''(x) = 0 nach x oder t auflöse.

6·x - 2·t = 0 → x = 1/3·t

6·x - 2·t = 0 → t = 3·x

Die 3 ist der Kehrwert von 1/3. Aber das heißt nicht das da einfach die 1 und der Bruchstrich weggelassen wird.

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Hallo coach,
mein Ergebnis müßte stimmen.

Was hast du für die Ortskurve heraus ?

Was rechnest du bei dir ?

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Den größten Fehler macht man wenn man vom Fragesteller Sachen einfach übernimmt ohne sie zu Kontrollieren.

Warum lautet es beim Wendepunkt nicht

WP(1/3·t | -2/27·t^3 + 50/3·t + 40)

sondern

WP(1/3·t | (-2/27·t)^3 + 50/3·t + 40)

Gibt es dafür eine logische Erklärung?

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denke habe es dann doch soweit Verstanden,werde jetzt noch ein paar Aufgaben machen um es zu Vertiefen,btw ich dachte man könnte es so in Klammern schreiben was wohl nicht der Fall war es sorry dafür.

Bedanke mich für die großartige Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen

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Kein Problem. Jedem können Fehler unterlaufen. Auch ich mache oft genug Fehler. Das wichtigste ist nur das man aus seinen Fehlern lernt.

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Hallo coach, der Fehler wurde korrigiert.

Answer 2

K''_t(x) = 6x - 2t ⇒ x = t/3

Das in K_t(x) eingesetzt ergibt die y-Koordinate des WP.

WP(t/3 | (-2t/27)3+50t/3+40)

x = t/3 nach t aufgelöst ergibt: t = 3x

Das für t in die y-Koordinate eingesetzt ergibt die Ortskurve.

Comments

Ich versuche hier mal mit deinem Weg "fertig" zu machen.

y= (-2t/27)^3+50t/3+40      | t = 3x

y = ((-2*3x)/27)^3 + ((50*3x)/3 ) + 40

y = (-2x/9)^3 + 50x + 40

D.h. im Vergleich zu den andern Antworten passt der erste Summand nicht wirklich.

Erklärung hat mathecoach gestern schon gefunden:

Den größten Fehler macht man wenn man vom Fragesteller Sachen einfach übernimmt ohne sie zu Kontrollieren. Warum lautet es beim Wendepunkt nicht

WP(1/3·t | -2/27·t^3 + 50/3·t + 40)

sondern

WP(1/3·t | (-2/27·t)^3 + 50/3·t + 40)

Gibt es dafür eine logische Erklärung?

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Tja, man sollte ihnen nicht Glauben schenken.

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@Wüstbude: Sieht schon schöner aus, wenn das t otpisch nicht unter den Bruchstrich rutschen kann. Wenn du Klammern verwendest musst du in der Klammer in der Regel etwas ändern. Gemeint hat du somit wohl wieder https://www.mathelounge.de/579306/ortskurve-ermitteln-aus-wendepunkt

Answer 3

WP ( t/3 | (-2t/27)^3 + 50/3 *t + 40)

Ortskurve
x  = t/3  => t = 3x
y = (-2t/27)^3 + 50/3 * t + 40

Einsetzen
t durch 3x ersetzen
y = (-2 * 3x /27 )^3 + 50/3 * 3 * x + 40

y = -216 * x^3 + 50 * x + 40

muß ich gieich noch nachkontrollieren.

Comments

Nach Kontrolle
ort = - 8 / 729 * x^3 + 50 * x + 40

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Nach nochmaliger Kontrolle
ort ( x ) = - 2*x^3 + 50*x + 40

Bei Bedarf nachfragen.